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cos (N^I) cos (N^n) cos (Nyni) 

 ^^^(N^I) ■ cos (]S\n) ' cos (N^in) 



(N^I) ist der Winkel, den die X o r m a le N^, mit der Kante I bildet, 

 also das Complement zu dem Winkel, den die Fläche mit der Kante I 

 bildet, oder zu dem Winkel, den die Normale mit der durch die Nor- 

 malen und gehenden Ebene bildet. 



]Man kann also obigen Satz folgendermassen aussprechen: Die Ver- 

 hältnisse der drei Quotienten der Sinus, welche zwei be- 

 liebige krystallogr aphisch mögliche Flächen (N^ und N^.) 

 mit drei beliebigen krystallographisch möglichen Kanten 

 (I, II und in) bilden, sind constante rationale Zahlen^ und 

 und zwar lassen sich diese Zahlen durch die Determinanten der Indices 

 Ton Nj N, Ng und ausdrücken. 



Die Fassung, welche der Satz nun erhalten hat, gestattet eine leichte 

 Herleitung des GAuss'schen Satzes. 



Liegen und in der Zone N,, gehen also diese vier Flächen 

 der Kante HI parallel, so ist: 



(Nj.in) = (X^III) = 90^ mj.3 = = 0. 



Die letzten Glieder des Verhältnisses (8) werden also unbestimmt 

 und es sind nur die beiden ersten zu betrachten. 



Bezeichnet man den Durchschnitt der Ebenen: 

 (N^I) und (N,X3) mit Mj^ . 



(Nyl) , (N.Ng) „ Miy, 

 (Nyll) .. (N3N,) ,, Mny, 



^ Für den Satz in dieser Fassung kann man folgenden einfachen Be- 

 weis geben. Es sei eine Transformation der Indices in der Weise durch- 

 geführt, dass Xj X2 und X3 die Axenebenen, also I, II und III die Axen 

 sind. Die Axeneinheiten seien jetzt : b^ : bg : bg. 



Dann gilt für die Abschnitte, welche die Ebene X^ Yon den Axen 

 abschneidet, folgende Proportion: 



JDj^ ^ J)3 1 1 1_ 



^xi ■ gx2 ■ cos (X^I) • cos (X\II) • cos (N^ni)- 



Dividirt man diese Proportion durch die analoge, für X^ gültige, so er- 

 hält man: 



cosJXyl) ^ cos (XyR) _ cos (Xyin) _ gyi ^ gya ■ g'ys 



cos (x^ • cos (x\n) • cos (x^in) ~ g^ ■ g^ ■ g^' 



worin die g die neuen Indices der Flächen X^ und Xy, also ganze Zahlen sind. 



und durch Division 



(8) 



(y) 



(X) 



(y) 



(y) 



(X) 



