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Bulletin scientifique. 



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l'intégrale du premier membre est relative au volume 

 entier V, celle du second membre se rapporte à toute la 

 surface S de ce volume. 



Pour obtenir le résultat de M. Lame', il n'y a qu'à 

 aire p ~x. q—y, f — z, ce qui nous donnera l'e'quation 



3 F~— y" (x cos /. -f y cos rt -f- rcos. )dS 

 qui coïncide avec celle de M. Lame' ( 2 ). Pour ce qui 

 regarde 1 élément dS, il y aura souvent de l'avantage à 

 l'exprimer, suivant l'exemple donné par l'illustre Le- 

 gendre, au moyen des éle'mens de deux systèmes de 

 lignes de courbure de la surface S- En appelant ds et 

 ds? les élémens dont il s'agit, on aura dS—dsds'- 



Partageons le volume V en élémens différentiels par 

 trois systèmes de surfaces, renfermant chacun un para- 

 mètre variable , un de ces trois systèmes étant pris de 

 manière que la surlace S s y trouve comprise. Désignons 

 par a le paramètre de ce système, et par b et c les deux 

 autres paramètres. L'élément de Jasera, comme on le sait, 



(dxdydz dxdydz dxdydz dxdydz dx dy ds 

 du db de du de db db de da db da de de da db 



Considérons maintenant l'intégrale 



jtcos /. -j- y cos t< -j- z cos r) d S — 



j (x dy dz -\- y dx dz -\- z dx dy) 



prise dans toute l'étendue de la surface 5. Or comme dans 

 cette étendue, le paramètre a ne varie pas, nous y aurons 

 du , da , . tu , 



db , , db , , db 



~7z 



de 

 Jz 



d'où 

 dx — 



4i 







dz — db 

 dz — de 



adb-\- pdc 

 / du db dc\, 

 " \dx dx 'dz) 



, a'db-\-S'dc , 



J ^/da Joéf? 

 — \dx d'y Jz) 



a'db + fjc 

 /da db dc\ 

 ~~ \Jr dy dz) 



lié)***- 



Nous avons fait pour abréger 



da de da de da' db da db 



a — Jz d'y ~~ d'y ~Jz ' - J ~ dy Jz ~ dl dy 



. da de da de da db da db 



? ~ dlcJz d~z dx ; V —~dzde dx Jz 



,t da de da de - n da db du db 



dy dx dx dy' " dx dy dy de 



Nous sousenlendons le double signe ZÏZ qui devait 

 être mis devant celte expression, en place de laquelle 



nous écrirons, pour abréger 

 <dx dy d 



Nous écrirons également — (^~"^~ au lieu de 



du db de 

 dx dy~Jz 



d a db de j 

 JilLzdy"^ 

 da db de 

 dz dx dy 



d i db de 

 dy dz dx 

 da db de 

 dz dy dx 



da db de 



dy dx dz 



En revenant des quantités a, b, c aux quantités x, 

 j, z, on doit remplacer dadbdc par dxdydz ^(~f~j~ ^-^» 



D'après les principes connus pour la transformation 

 des variables dans les intégrales doubles on peut rem- 

 placer dydz, dxdz, dxdy respectivement par 

 (a p" - y a")dbdc (y—a? ")dl>dc (a?' - ?a')dbdc 



2 " 



L~ \dx dy dz) J L~ \dx dy dz)] |_~ \dx Jy' Jz) ] 



dx \dx dy dx) 



a „ da sr /dadbdc\ 



* ^-dy-KjxdyJz) 



Mais 



aï 



du y/da db dc\ 



~ Jz [dx Jy Jz) 



donc dydz, dxdz, dxdy peuvent être respectivement 

 remplacés par 



amsi 

 donc 



i dxdydz équivaut à dxdyz s(— * —} * ±\ 



U " \da db de) -\dxdydzj' 



^/dzdy dz yfda db de\ 



' U db de \dx Jy~Jz) ~ 



-dbdc 

 dx 



V f^f db dc\ ' 

 ~\dxJy Jz) 



da 



dy 



dbdc 



da 



dbdc 



y(da db dc\ ' 

 ~ \Jc dy Jz) 



v , da db de\ 



■* [dldJJz) 



et; par suite, l'élément du volume f aura pour expression 



da dbdc 



par conséquent 



y/da db de\ 

 W dy dz) 



v— 



s 



da dbdc 

 -, f da db de \ 

 \JxJy Jl) 



PO Équation de la page 554 du recueil cite. 



Il en résulte que / da da . da\ , 



r A x j — Vïj — \-z- r )dbd 



fxcos À +y cos u + zcos,)JS=l £ , 



J J . / da db dc\ 



par conséquent nous aurons 



„ / da db dc\ 

 "\JxdJJz) 



dadbdc 



^/ da db dc\ ' 

 \JxJyJz) 



f 



dy 



^ / da db dc\ 

 ~ \Jc Jy Jz) 



Celte équation doit aussi renfermer la formule de 

 M. Lamé, et elle la renferme en effet. Pour l'en tirer, 

 il n'y a qu'à supposer que les trois systèmes des surfaces 



