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Bulletin scientifique. 



«par ce point quelconque m pendant l'instant dt, seront 

 d*x\ ;,i ,„ d* 



m 



dt* 



) 



«par consc'quent, l'e'quilibre aura lieu dans le système, 

 «en supposant le point m sollicite' par ces forces, et 

 «chacun des autres points m', m", etc., par des forces 

 «semblables. Or, on formera L'équation, générale de cet 

 «e'quilibre, en mettant dans l'équation qui exprime le 

 «principe des vitesses virtuelles, les trois composantes 

 «précédentes à la place des composantes de la force mo- 

 «trice qui agirait sur m, ce qui donne 



«les sommes Ji' s'étendant à tous les points m, m', m", 

 «etc. du système, et se composant, par conséquent, d'un 

 «nombre de parties égal au nombre de ces points». 



«Nous supposerons que les liaisons de ces points ma- 

 tériels sont exprimées par les équations 



/.=:(), II zz 0, L"=lO, etc., 



(2) 



«dans lesquelles L, L', L", etc., sont des fonctions don- 

 «nées des variables x , y, z, x', etc., ou d'une partie 

 «d'entre elles, qui peuvent aussi renfermer le temps t 

 «explicitement. Si, par exemple, le point m est assujetti 

 «à demeurer sur une surface qui change de forme gra- 

 «duellemenl, ou qui soit en mouvement dans l'espace, 

 «et que L~0 représente l'équation de cette surface, L 

 «sera alors une fonction donnée de x, y, z, t. » 



«Quoique les forces dont l'équation (1) ex- 

 « prime l'équilibre répondent à des quantités 

 «de mouvement perdues pendant la durée du 

 «temps dt, et que pendant cet instant les posi- 

 «tions des points m, m', m'', etc., changent infi- 

 «niment peu, on peut néanmoins supposer que 

 «cet équilibre a lieu dans les positions que ces 

 «points occupent au bout du temps f, c'est-à- 

 «dire, que l'on peut faire abstraction de leur 

 «changement de position pendant l'instant dt, 

 «qui ne saurait altérer les quantités de mouve- 

 «ment perdues pendant qu'il s'effectue, que 

 «d'un infiniment petit du second ordre, et les 

 «forces motrices correspondantes , que d'un 

 «infiniment petit du premier ordre. Les dé- 

 «placemens infiniment petits que suppose le 

 «principe des vitesses virtuelles, et qui sont 

 «exprimés, suivant les directions des coordon- 

 «nées, par Sx, Sy, Sz, pour le point m, par Sx', 

 «Sy', 8z', pour le point m', etc., doivent donc 



«satisfaire aux conditions du système telles 

 «qu'elles sont à la fin du temps t; par consé- 

 «quent, il faudra que les équations (2) aient 

 «encore lieu quand on y mettra x -\- Sx , y -\- Sy , 

 «.z-\-dz, x' ,,x', etc., à la place de x, y, z, x', 

 «etc., sans faire varier le temps t qu'elles pour- 

 «raient contenir ex plicitemenl \ d'où l'on con- 

 clut. 



dL dL dL dL 



sz8* + jz8jr + J7Sz etc. =0 



d x 

 dL' 

 d x 

 dL' 

 dx 



dy 

 dL' 



dz 

 dL' 



dx' 

 dL' 



8 * + dy «K + ï + §Z Jx-' + SX ' etC ' = 



ôx+~Sy + ^8z+~Sx'+*c. = 



(3) 



dx' 



etc. 



Le ce'lèbre auteur, dans le passage soidigné, cherche à 

 prouver qu'on peut former les équations de l'équilibre 

 des forces perdues en supposant que ces forces ainsi que 

 la position des points m', m", ni", etc., se rapportent au 

 temps t. Et cela parce qu'il est permis de négliger les 

 changemens infiniment petits qu'éprouvent, pendant 

 l'instant dt, les coordonnées du système et les forces 

 perdues. La considération de ces infiniment petits est 

 plus que superflue, car elle obscurcit l'idée très claire de 

 l'équilibre des forces perdues. Il n'est pas possible de 

 concevoir qu'en établissant l'équilibre entre ces forces, on 

 puisse les rapporter, ainsi que la position du système, à 

 une époque différente de la fin du temps t. Mais remar- 

 quez bien qu'en parlant de leur changemens infi- 

 niment petits dont on peut faire abstraction, 

 l'auteur donne lieu à penser que les considérations qu'il 

 emploie ne sont qu'une approximation; or, une fois dans 

 celte idée, il serait très difficile de dire ce qui, ri- 

 goureusement, devrait avoir lieu. 



Sans la preuve que l'auteur en donne, et même sans 

 aucune preuve, on doit convenir que les coordonnées 

 m, m', m" , etc. et les forces perdues doivent être rap- 

 portées au commencement de l'instant dt. Il n'y a rien 

 de plus clair que celte vérité. Mais il ne s'en suit pas 

 que les déplacemens infiniment petits, que 

 suppose le principe des vitesses virtuelles, et 

 qui sont désignés par Sx, Sy, Sz, Sx', Sy' , Sz', 

 Sx", etc., satisferont aux équations (3); ou, ce 

 qui revient au même, il ne s'en suivra pas que les équa- 

 tions (2) auront encore lieu quand on y mettra 

 x -f- Sx, y -f- Sy , z-\-Sz, x' -\- Sx ', etc., à la place 

 de x, y, z, x', etc., sans faire varier le temps t 

 qu'elles pourraient contenir explicitement. 



