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BULLETIN SCIENTIFIQUE. 



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C'est pour se debarasser des termes dus à la varia- 

 tion de la quantité /, explicitement contenue dans les 

 équations (2), que Poisson recourt au raisonnement que 

 nous combattons et qui, d'après nous, non seulement ne 

 prouve rien relal i\ ement aux termes dont il s'agit, mais 

 encore ne nous paraît pas avoir beaucoup de valeur sous 

 aucun rapport. Si l'on consulte, pour ce même cas où 

 les conditions des de'placemens possibles contiendraient le 

 temps explicitement, la première édition de la Mécanique 

 analytique, on y trouvera le passage suivant 2 ). 



«En général, il faut remarquer relativement aux va- 

 «r 'ration s, qu'elles ne se rapportent qu'à l'espace et non 

 «à la durée, en sorte que, dans les différentiations mar- 

 «quées par ô, la variable t, qui représente le temps, 

 «devra toujours être regardée comme constante. Or il peut 

 «arriver suivant les circonstances du problème, que les 

 «équations de condition renferment elles mêmes le 

 «temps t, auquel cas elles seront, à proprement par- 

 «ler, variables d'un instant à l'autre; alors, quelques unes 

 «des coordonnées se trouveront exprimées en fonction 

 «des autres coordonnées et de la variable t; et il faudra avoir 

 «égard à la variabilité de t dans les différentiations mar- 

 «quées par d, mais on supposera t invariable dans les 

 «différentiations marquées par . 



«La même supposition devra aussi avoir lieu relative- 

 «ment au signe intégral f qui ne se rapporte qu'à l'é- 

 «tendue même du corps dans chaque instant. 



Ainsi Lagrange rejette les termes qui dépendent du 

 changement de la variable t sans en expliquer la rai- 

 son. Il est à remarquer que l'illustre auteur supprima le 

 passage, qu'on vient de lire, dans la seconde édition de 

 son immortel ouvrage. Il eût été très intéressant de con- 

 naître les motifs de cette suppression. 



Il est important de faire observer que , pour le cas 

 d'un système en mouvement, le principe des vitesses 

 virtuelles doit être modifié. Il y faudra tenir compte du 

 déplacement instantané du système. Pour cela, on ne 

 considérera comme possibles que les de'placemens qui, 

 combinés avec le déplacement effectif, ne vio- 

 lent pas les équations de condition. 



Nous appelons, pour abréger le discours, déplace- 

 ment du système, l'ensemble des de'placemens de 

 tous les points qui composent le système. Ainsi, le dé- 

 placement effectif représente l'ensemble des de'placemens 



d x + | d' 1 x, dy + | d 2 y , d z + g d 2 z 

 dx' -f \ d 2 x\ df + | d\y\ dz + \d 2 z 

 dx" + | d 2 x" , dy" + \ d*/', dz" + \ d 2 z" 

 etc. 



que les points m, m', m' / , etc. reçoivent actuellement, 

 pendant l'instant dt. Nous ne sommes pas allé aux diffé- 

 rentielles troisièmes et supérieures, par rapports au temps, 

 parce que, en mécanique, on ne les considère pas, afin 

 de pouvoir regarder les de'placemens instantanés comme 

 rectilhmes. 



D'après ce que nous avons dit des de'placemens pos- 

 sibles du système, ils peuvent être représentés par 



dx + ±d 2 x -f- x, dy + {d\y -f ô>, dz + \d 2 z + 8z 

 dx'j£i d 2 x -f- Ôx, dy' + 1 d\y' + gy ,dz+± d 2 z -f 8z' 

 dx"-\- -^ 2 x"-fjx", dy"+ id 1 j"+ôy".dz'+id ï z"+Ôz" 



à condition que les équations (2) aient encore 

 lieu quand on y mettra x + dx -f- ±d ï x -f- S x , 

 y + dy 4- if/ 2 j + 5y, z + dz + ±d 2 z + ôz, 

 x' -f dx'-\- {d 2 x'-\-Ôx, etc., à la place de x,y, z, x' 

 etc., et en y faisant aussi varier le temps t, en cas qu'il 

 y serait contenu explicitement, de sa différentielle dt. 

 Car les nouvelles coordonnées x -\- dx + a d 2 x 4- ôx, 

 etc. , c'est-à-dire les coordonnées relatives au temps 

 t 4- dt, doivent satisfaire aux équations (2), rapportées à 

 la fin du temps t -{- dt; sans quoi les de'placemens (i) 

 violeraient les équations de condition et par suite ne se- 

 raient pas possibles. 



En remplaçant, dans les équations (2), les quantités 



x, y, z, x t, respectivement par x -\- dx -\- ±d 2 x -\- x, 



y + dy + id 2 y + Sy, z -\- d z -f ±d 2 z + Ô z , 

 x '4- dx' y- { d 2 x 4- Sx',.... t 4- dt, et faisant atten- 

 tion à ce que les différentielles §x, §y, Ôz, ôx', 



sont des infiniment petits du second ordre, nous aurons 



0z= L+dL+ id^L + ^ôx +~Jf + ^+55**'+ etc - 



dL 



— i 

 dy 



dL 



— ( 

 dz 



dL 

 'dz 7 



(2) Page 198. 



0=L'+ dL' -r ±d 2 L'+ ^ér'+T&+Z& S *' : + etc * 



dx dy ' dz az 

 jrii ,tT" rtl'' dl" 



0-r'4-^'>^Z''4-§^4-^^4-^^+^^'+ etc - 



etc. 



dL, dL', dL", etc., d 2 L, d 2 L', dP-l" , etc., désignent 

 les différentielles, première et seconde, par rapport au 

 temps, et en faisant varier tout ce qui varie avec cette 

 quantité. Or les équations ^ 



