Bulletin scientifique. 
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seyn imiss. ladem wir nun das k 1 e i n s l e allei', re- 
spective ungeraden oder geraden, Quadrate, die j^rosser 
als iV siud, durch g'^ und den Ueberschuss ûber JY 
diirch ;• bczeichoeu , erhalten wir l'iir s Erste die 
Gleichun»: 
^^'=Zg\~r (1) 
"vvobei, wie leicht einzuselien, g und /', mittelst der 
Ausziehung der Quadratwurzel aus JY, jederzeit ohne 
aile Srhwierigkeil bestimmt werden konnen. 
Wird solchergestalt, ziifallig, lûr r gleichfalls eine 
Quadialzahl , A^, gefunden, so ist die Aufgabe sogleich 
durch jY:zz {g A) (g — A) gelost. Ist das aber nicbt 
der Fall, so kann dock /•, auf mannigfache Weise, als 
eine Diflerenz geschrieben werden, deren Minueod ein 
Quadrat ist. Wir wollen also fiir /• den Ausdruck 
— c setzen, und dabei unter 7*^, je naohdem /' gerade 
oder ungerade ist, das, in Bezug auf /•, nâchst ho- 
here gerade oder ungerade Quadrat verstehen, bei 
welcber Annahine, wie sich leicht darthun lasst, c je- 
derzeit eine durch 4 theilbare Zabi seyn muss, folg- 
lich durch 4.d ersetzt werden kann. Wir haben dem- 
mch : 
JV— g"^ - -\- 4 d (2) 
Jetzt kommt es offenbar darauf an, zwei Zahlen, x 
und y zu Cnden, die so beschafFen seien, dass 1) so- 
wohl + X als h^-\-j- ein Quadrat, und zugleich 
2) X — j :izéd sei. 
Der ersten dieser beiden Bedingungen genûgen, und 
zwar ohne die vorhin fur das Gerade- oder Ungerade- 
seyn des Minuenden und des Subtrahenden als nolh- 
wendig erkannten Feststellungen zu beeintrâchtigen , 
aile diejenige Zahlen, welche man erhiilt, wenn man 
aus den beiden Reihen von <^uadraten: 
g^ (g + 2)^ {g + 4j^ + 6)^ (gr + 8)^ 
h\ (/^ + 2)^ (/^ + 4)^ (A + 6)^ {h + 8j\ 
die DilTerenzenreihen: 
4(^+1), 4(§'H-5), 4(g^ + 5), 4(g^ + -), 
4(/i-|-3), 4(/i + 5), 4(/i + 5), 4(/i-t-'î), 
ableitet, und von letztern, respective, das erste Glied, 
die Summe der beiden ersten, der drei ersten, etc. 
Glieder fur x und y nimmt. 
Es l)rauchen also, uni auch der zweiten Bedingung 
zu genùgen, nur noch aus den so gebildeten Zahlen 
zwei von der Beschafienheit herausgesucht zu werden, 
dass ihre Differenz 4<i sei. 
Hiernach reducirt sich die Aufgabe darauf, diejenige 
Anzalil der Glieder der arilhmetischen Progression: 
g + i, g-\-Z, g-\-5, g + 1, 
ZU fîuden, deren Summe die Summe einer gleichfalls 
zu bestimmenden corr.espondirenden Anzahl von Glie- 
dern der Progression : 
/i-f 1, A-i-3, A + 5, h-^-l, 
um die Zahl d ùbertrifft. Dass aber dieser Forderung 
immer, wxnigstens auf Eine Art. genûgt werden kann, 
erhellt sogleich daraus, dass, ganz allgemein, JV ~ 
Bezeichnen wir gedachte beide Anzahlen respective 
durch m und «, so ist die erste Summe: rn^-\-gm, 
die zweite: ii'^-\-hu. Es soll also: 
tii^ -\- gm — ii^ -\- hn -{- d (ô) 
seyn. 
Zur Bestimmung von m und n schlagen wir nun 
nachsteliendes Verfahren vor, bei dessen Darlegung wir 
g -\- i n und h -\- i ~b machen. 
1) Man dividire a durch der Quotient sei Ji'; der 
um n'Çn' — l) verminderte Rest also: a — n'b — «'(«' — 1). 
2) Zu letzterer Zahl addire man, falls dieselbe nicht 
schon — d ist, a -j- 2 , und di.vidire die- -Summe, 
2a -{-2 — n' b — n' {_n' — i), durch b-{-2ji'-^ der Quo- 
tient sei der um n" (n" — 1) verminderte Rest 
also: 2a 4- 2 — {n' -f n") b — («' -f n") {ji' + ii" — 1). 
Ti) Zu letzterer Zahl addire nian, falls sie nicht ~d 
ist, rt-i-4, und dividire die Summe durch />-|-2«' -j-2«''5 
u. s. w. f. 
Man wird solchergestalt immer einmal zu einem 
Ausdrucke : 
pa + p{p-±) — {ri'-^n"+u"' +n'P~''>)b-{n'+7i" 
oder, da a'iirzg — 1, b — h — 1 ist: 
^2 4. „'/'-i))2_Ay+„"+...,4-„(^-t)) 
gelangen, der d seyn wird, und eben dadurch die 
Zahlen: 
(4) 
n — n -\-n" -\-n" '-{-....-}- 7i'r-^'> \ 
bestimmen. Alsdann aber ist, wie sich aus dem Vor- 
hergehenden leicht erkennen lasst: 
N— {g 2mj2 — (/i -H 2«)2 
— (g-{-h-{-2{m-]-n))(g-h-\-2im-n)') (5) 
Indem ich es mir, wie bereits angedeutet worden, 
vorbebalte, niein Verfahren, mit erl'orderlicher Rûck- 
sicht auf die Abkûrzungen, deren dasselbe, namentlich 
auch fur die Fàlle, wo die zu zerlegenden Zahlen 
Primzahlen sind, bedarf und fâhig ist, und auf die 
Anwendung, die man davon auf mehrere andre Pro- 
blème der Zahlenlehre machen kann, in einer beson- 
deren Abhandlung gehorig zu erortern, bemerke ich 
nur noch, dass eben dièses Verfahren zwar m vi 
elen 
