^151.152. BULLETIN SCIENTIFIQUE Tome VI. 
^ J\/? 11. 12. 
PUBLIÉ PAR 
L'ACADÉMIE IMPÉRIALE DES SCIENCES 
DE SAINT-PETERSBOURG. 
Ce journal parait irrcgulièrcmeiit par feuilles détachées dont vingt-quatre lonnent un volume. Le prix de souscription d'un volume est 
•de 5 roubles assign. en Russie, et de 1 '/^ écus de Prusse à l'ét.-anger. On s'abomine, à St.-Pétersbourg, au Comité administratif de l'Académie, 
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gazettes du bureau des postes se cliap^e de coin;n indus pour les provinces, et le libraire LKOFOLD VOSS à Leipzig, pour l'étranger. 
Le BOLLETIX SCIENTIFIQUE est spécialement destiné à tenir les savants de tous les pays au courant des travaux exécutés par 
l'Académie, et à leur transmettre sans délai les résultats de ces travaux. A cet effet, il coiiliemlra les articles suivants: 1. Mémoires lus 
•dans les séances, ou extraits de ces mémoires, s'ils sont trop volumineux; 2. Notes de peu d'étendue in extenso; 3. Analyses d'ouvrages 
manuscrits et imprimes, présentés à l'Académie par divers savants; 4. Ra]iports; 5. Voyages scientiSques; 6- Extraits de la correspondance 
scientifique; 1. Nouvelles acquisitions de la bibliothèque et des musées; 8. Chronique du personnel de l'Académie; 9. Annonces 
bibliographiques d'ouvrages publiés par l'Académie; 10. Mélanges. 
SOMMAIRE. MÉMOIRES. 3. Mémoire sur les quadratures définies. Ostbcgk.^dsky. Extrait. 4i. Mémoire sur les Finals et au- 
tres nations tchoudes qui se sont distinguées dans l'antiquité par la connaissance des métaux et l'usage qu'elles en ont fait. 
Sjôgrex. Extrait. 5. Addition aux Mesures micrométriques des étoiles doubles. Strdve. Extrait. 6. Cinq centaines de mon- 
naies anecdotiques des khalifes. Partie 2 , section 2!*". Fraehn. Extrait. NOTES. 13. Sur une méthode facile de produire 
l'acide chromique et sur le rapport qui e.riste entre cette substance et l'acide sulfurique. Fbitzsche. 14. Sur la formation des 
nitrites par voie directe. Fbitzsche. 15. Faldermannia , nouveau genre indigène de plantes. Tbautvetter. CORRESPON- 
DANCE. 2. Observations géognostiques instituées dans un voyage de St.-Pétersbourg à Arkhangel. Lettre de M. E. Robert 
à M. Foss. RECTIFICATION. CHRONIQUE DU PERSONNEL. 
MÉMOIRES. 
3. Mémoire sur les quadratures définies; 
PAR M. OSTROGRADSKY (lu le 23 août 1839). 
Extrait. 
On trouve, dans le calcul différentiel d'Euler(*), 
une formule relative à la conversion des sommes en in- 
le'grales , et re'ciproquement. Cette formule serait très 
propre à la de'termination des valeurs nume'riques des 
intégrales de'finies. Mais , ce qui peut étonner c'est 
qu'Euler ne s'en est pas servi dans ce but. Ce grand 
géomètre recourt, dans ses Leçons de Calcul inte'gral , 
à une autre formule bien moins simple et moins com- 
mode -, car, pour calculer l'inte'grale définie d'une fonc- 
tion donnée , elle exige non seulement qu'on fasse une 
somme des valeurs de la fonction proposée , mais aussi 
qu'on somme les valeurs de ses dérivées , ce qui com- 
plique beaucoup le calcul. Je crois que Legendre est 
le premier qui s'est servi de la formtile d'Eu 1er pour 
la détermination approximative des intégrales définies , 
(1) Institutionum Calcul! diflfercntialis , pars posterior, Cap V. 
S 115. 
(2) Institutionum Calculi integralis pars prima , sectio prima , 
Cap. VIL 
et l'on doit à ce célèbre mathématicien une autre for- 
mule (') aussi propre à remplir le même but que celle 
d'Euler. Cependant les formules dont nous parlons 
étant représentées par des séries infinies, il restait à dé- 
sirer que l'on eût les expressions des restes que l'on 
néglige quand on s'arrête à des termes quelconques de 
ces mêmes séries , et il faudrait que les expressions 
dont il s'agit pussent fournir avec facilité les limites des 
erreurs commises. Le célèbre auteur de la nouvelle 
théorie de l'action capillaire , en se servant des séries 
de Fourier, est parvenu à l'expression du reste rela- 
tif à la formule d'Euler (*). Mais il faut avouer que la 
considération des séries des quantités trigonométriques 
est indirecte dans cette matière. Aussi M. Poisson n'a- 
t - il pas présenté l'expression du reste sous une forme 
aussi simple qu'on pouvait le désirer. C'est le but du 
mémoire que nous annonçons. On y trouvera aussi la 
valeur du reste relatif à la formule de Legendre. Ce 
dernier reste , que nous sachions , n'a pas encore été 
donné sous aucune forme. 
(3) Traité des fonctions elliptiques T. I. p. 572 et suiv. Voir 
aussi : Exercices de calcul intégral T. I. p. 308 et suiv. 
(4) Mémoire sur le calcul numérique des intégrales définies. 
