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Bulletin scientifique. 
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^ — — 16 
Damit dieser Ausdruck ein Klcinstes Trerde , muss 
sowolil -r- 0 , als auch-r-~0 jreselzt werden , und 
dC dB 
solchcs fiihrt zii den Glcicliungen 5 
\B\ih~ACBa}—2B^b''^2CBah+C^a}- Cb*-—0.. (4) 
unà 4 B^nb-5CBa^—ôBb^-\-2Cab—0 (5) 
Mulliplicirt man (5) mit B und zielit sie daim von (4) 
ab , so erîiàlt man : 
ir'b-'-—CB'-a'-\-C>a-^-Cb-^—0 oder 
(B^—C) 7'5— CV):=a, also da 
— C<CO, iiotlnvendiger Weisc C~—. 
Subslituirt man diesen W«rlh von C in (5), so eniaÎL nian 
also wieder vs eil i?^ — C<^0 , B ~ —, 
2a 
Auch ûberzeugi man sich- leicht, dass fur dièse Werthe 
von B und C 
dcî 
10 
, — — —7 n^sm^.o alsoj>0 sind 
ô*. il ' dB 
also <^ 0 ist 
Zweite yliiflôsiin 
b • 
Bu Z :=Z ~ n^sin^ 
so erhalten wir, c. als Conslanle LeLrachtend , da wegen 
(2) auch constant und — 0 ist^ fiir Z den klein- 
«ten Werth . wenn 
S—E~BDz=:-^-j-Bb — ^ 
ein Minimum ist und liieraus 
B — 
2* 
tind Z — 
B^i Bh 
Betrachten wir jetzt wieder a als reranderlich und setzen 
^ ^ 0 , so erhalten wir 
, 1 ia , , 
« — — r-r ZI - — also da r r <: 0 
« — — — C — — 
' 4a» ' a» 
wîe iu der ersten Auflôsung. 
Die Goordinaten des Mittclpuncls der Ellipse sind 
-rz-und. — ■— — -, also ist der Schwerpunct des Dre i- 
ecks der Mittelpunct der Ellipse. 
Die Gleichung der Ellipse: 
b% 
„ — by — 
a - ' a» a 
Der Fliicheuinhalt der Elli 
- 2..-n..6 4^ ^ 
-or X — 0 
a 
pse : 
(6) 
V21 V21 
d. h. es verhàlt sich der Flàcheninhalt der Ellipse zum 
Flacheninhalte des gegebnen Dreiecks so wie der Kreis 
zum eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecke. 
Folgerung 1. 
Bezeichnet S die Summe der Quadratc der Aclisea 
der Ellipse , so ist fur (1) 
S — ^^^^ini^ (1 + C — 25,cos u.) also fur (6) 
S —^-{la^'^ — 2ah cos ai) 
9 
(8) 
wo die Summe der Quadrate der Seiten des ge- 
gebnen Dreiecks bezeichnet. Es verhalt sich also 
die Summe der Quadrate der Achsen der Ellipse , zur 
Summe der Quadrate der Seiten des Dreiecks, wie das 
doppelle Quadrat des Durchmessers der Ellipse , zum. 
dreifachen Quadrate der Seite des eingeschriebenen 
gleichseitigen Dreiecks. 
Folgerung 2. 
Fur ein und dasselbe Dreieck sind die grossie El- 
lipse in demselben, und die kleinste um dasselbe, con- 
centrisch, ahnlich und iihnlich liegend [sieh (6) §1 und 
(6) § 2]. — Ihrc Flàchen in dem constanten Verhalt- 
nisse wie 1 : 4 [sieh (1) § 1 und (1) § 2]. — Die Summe 
der Quadrate ihrer Achsen auch in dem constanten \ er- 
hâltnisse wie 1 : 4 [sieh (8) $ 1 und (8) $ 2]. 
Folgerung 3. 
Wenn die grosste Ellipse in ein Dreieck beschrieben 
ist , und durch die Verbindungslinien der Berûhrungs- 
puncte . ein inneres Dreieck gebildet wird, so ist die 
grosste Ellipse in dem aussersten Dreiecke , zugleich 
die kleinste , welche um das innere beschrieben wer- 
den kann : — denn beide Dreiecke haben denselben 
Schwerpunct. — 
S 3. 
Bestimmung der grôssten Ellipse , welche die vier 
Seiten eines gegebnen Vierecks beiùhrt. 
Nehmen wir zwei Seiten des Vierecks zu Goordina- 
tenachsen, bezeichnen die Durchschniltspuncte der drit- 
