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■Bulletin scientifique. 
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ten auf den Achsen durch (fl, o) , (o, b).... der vier- 
ten durch (a', o] , (o, b'), so erhalten wir fur allc El- 
lipsen 
y^^2Bxf+Cx^^2Df+2Ex+F—0{cc<0) (1) 
welche die Seitcn des Vierccks beruliren , weon (o, n) 
den verunderlichen Berûhrungspnnct auf der Aclisc der 
y bezeichnet, folgendc Bcdingungsglcicluingcn 
und : aa''b^-\-2'a'b-\- a»-2 Vi'i^- 2 ab-\-, fcO , 
In Folgc der Gleichungen (2) reduciren sich die Glei- 
chungen (3) axif : 
und sic stininil dann mit der von Pfaff gegehnen 
ûberein: (Mon. Gorr. B. XXll S. 227..) 
Folgerung 1. 
a' a 
Wcnn das gegebnc Viereck cin Trapez , so ist 
und also auch aus (6) 
-, und daher 
-Tsiiicjrtrt' {b' — t)* 
a'En—2b'n'^-{-2n^—{P 
ba — E] +2a En-2ln^ -|-2//^Zl 0; 
bWiBn—E]-\-2 
also — r-r, — jr 
(Xfl (b --0) 
„ _ anï [rti'_6„'_|-rt(r/_a)] 
i>rt — i: 7 — - jj— 
aa'—[b b] 
(4) 
JSn -\- E — 
In(a'-a) [bb'—n(b-{-b')-\-n^ 
(5) 
Z :zz ■ — im^itj ^ — — sin^.'j/i 
aci\b'-b\ 
Fur das Quadrat Z des Flâcheninhalts z der Ellipse 
oder wegen (5) 
' ^ J ^ab — 6a -{-rt(a — <i)] 
Der Flàcheninhalt ein Maximum wenn — — une. 
hieraus : 
n^{2ab'^ 2a'b - ah ~\-a'l') — 2n(aL'^—b\i') 
^{ah\—ba')bb'—0 (6) 
ub''i-b*a.' ^ 
" 7ab'~1a'h-ab-\-ab ~ 
wenn man der Kùrze halber den zM'eilen Theil der 
Wurzel durch N bezeichnet. 
Da aber — p-- <! 0 sem muss , so erhalten wir : 
{2ab'—2a'h—ab\a'h') n — (ai'-»— iV) ^ 0 , je nachde 
also muss die eine oder die andere Wurze 
< 
Z— 
-— {ah'— ah) zz 
îG{a'—a)X bb'. 
— sin 0) a (b' — h) . y^— 
Der Flâclieninhalt T des Trapez 
sincj n{b'i-l%) 
~T' ' b 
Bczeichnen mm p , q die parallelen Seiten des Tra- 
pez , so ist 
p 1Z. "^a* + — 2ab cos w , 
q — ya'-'-f-i'^— 2a'y cos w , 
^/ 
ç~ — "j/a^-f-A* — 2fl6cosw, 
. , y 
also 'Ypq — "}/«^ — 2a/» cos w r y» 
p -\- q~ {Y -h — 2aZi cos w) 
genommcn wcrden , je nachdem a' ^ a ist. 
Verlauschen wir a mit h, a' mit b' , so eihalten wir 
aus (6) den Berùlinmgspunct auf der Achse der x. Sind 
aber vîer Tangenten und zwei Berùhrungspuncte auf 
jhnen gegeben , so ergeben sich die ùbrigen Berùh- 
rungspuncte xmd der Mitlelpunct leicht, und lassen sich 
auch einfach construiren. — 
Der Gleichung (6) kann man auch folgende Gestalt 
geben : 
und somit z ~^ . T 
Das Vcrhâllniss der Fliiche der Ellipse zum Trapez, 
hangt blos von dem Verhallnisse der parallelen Seiten ab. 
Fur die Coordinaten des Mittelpuncts der Ellipse er- 
, , /5 a4-a' 3 b4-b' 
hait man — — — — , — ~ zzz 
ai ai 
Der Mittelpunct liegl also im Durchschnittspunct der- 
jcnigcn beiden gcraden Linien, welche die Milten der 
beidcn Paare gegcnùberliegender Seiten verbinden. 
F o 1 g e r u n g 2. 
Wenn das Viereck ein Parallelogramm, so ist p — g , 
also 
r — i .T , Fliicheninhalt des Parallelogramms. — 
S 4. 
Beàtimmung der kleinsten Ellipse , welche um ein 
gegebnes Viereck bcschrieben werden kann. 
Wir wâhlen zwei gegenûberliegende Seiten des un- 
reaelmâssisen Vierecks zu Coordinalenachsen, und zwrr 
so, dass die Coordinaten der Scheilcl des Vierecks po- 
