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Bulletin scientifique. 
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silive Werlhe erlialten. (Solches ist imnier moglich , 
wenn das Viereck keinen convexen Winkel hat. — Hat 
es cinen solclien , so kann , bekannlUch , gar keine , 
durch die Scbeitel gehende Ellipse bescluieben wcrden.) 
Fiir aile Ellipsen : 
j»+2i?x/+Ca:»+2Z)j-[-2/rx+F=zO («<0) • . . • (f) 
■Nvclclie durch die vier Scheilel gehn , crhallen daun 
C, Dy E, jP beslimnile Werlhe, und iiainentlich sind 
auch /s<0, 7><0, i=^>0, C'>0, i^— ) >0, 
F^— CF— q > 0, EW^ — / > 0, C < =^ 
so dass B allein veranderlich bleiht. 
Fur das Quadrat Z des Fliicheuinhalls der Ellipse 
erhallen wir 
n ^sin^w 
(i/a — C) 3 
Damit dieser Ausdruck ein Kleinstes werde , seize 
dZ 
man -r- n: 0 , und dièses fùhrl zu der von E u 1 e r 
ats 
(Nova Acla Pelrop. T. IX) gegebnen Gleichung: 
— 1^2) 
.5' 
Da aher zugleich -^-^ ^ 0 sein muss, so erhalten vrir 
noch die Bedingiing : 
SDE 
3F ' 
Es miissen also die Werthc von B grosser als die 
beiden Wurzeln der Gleichung : 
j SDE { ZCm^3E i -CF) 
^ 3F 3^= — ^ 
sein, oder kleiner als beide. 
Oder : B grosser oder kleiner als die beiden folgen- 
den Werlhe von x : 
WE ^IGDiEi 9CDiF—9E^F-}-3CF^ 
X 
3F 
kDE 
y/iGD^~Ei—9)CD'iF—%E^F-}-3CF^ \ 
(5) 
Da aber fiir Werlhe von B, grosser als die Werthe 
von , B'^'^ C , so geben dieselhcn keine Ellipsen. 
Wir konncn also nur dann klcinste Ellipsen erhalten , 
■\Yenn B <C als die beiden Werlhe von x. Die Glei 
chung (2) verwandell sich millelsl der Subslilution 
B-J + 
liDE 
'ZF 
m 
(*) Dieser Ausdruck •vvird -< o, wenn man zwei Diagonale n 
des Viereks zu Coordinatenachsen wâlilt (weil F < 0), wie sol- 
ches z. B. beiiii Parallelogramm notlmendig wird. — Der Gang 
der Untersuchung bleibt aber soust iin Wescntlichen derselbe. 
y'+Pj-hQ-o . .... (4) 
„ ^CD'^F4-^EiF—3CF*—iGD*Ei 
WO P — — 
3Ei 
[9ry f 6À+EWi\ 
3FÏ 
< 0 ist 
Q ^ ^ [5iCD^F-\-5AE-F^é5CF^~GiD^E^] = 
— 1^ [54y7+9/+/::^Z>^J auch < 0 ist. 
Nehmen wir i) an , es sei 7î n: Ç>* -f 5*t -P' > <l> 
SO hat die Gleichung (4) nur eine réelle Wurzel, uud 
zwar eine positive, dâ P und Q négative Grossen sind; 
also/>0, und jBn — -f- y giebt B* > C. Daher, 
wenn die Gleichung (2) nur eine réelle Wurzel hat, 
nicht, wie Euler behauptet, nothwendiger Weisc eine 
kleinste Ellipse sich ergiebt . sondern gar keine. (*) 
Ist mm 2) 0, so hat die Gleichung (4) drei ré- 
elle Wurzeln, und dièse lassen sich, da P <^ 0, Q -«C ®» 
folgendermassen ausdrùckeu 
jzz2coscpV—^ , j 2cos (2400 + l/— ^ 
jrz2cos (120° -f- ^) 
P 
3 
Ohne den Werth von (p genauer zu bestimmen , be- 
merken wir doch , dass (p <^ 50° 0 ist. 
Es liegen also dièse Werthe von y innerhalb der 
Grenzen : 
p 
3 
I 
I 
p 
3 
p 
3 
itED 
"Wir erhalten also fur B :zz —y -\- y '• 
im ersten Falle. Werthe grosser als beide Werthe von 
X in (5) , also keine kleinste Ellipse. 
im zweiten Falle. Werthe zwischen den beiden Wer- 
then von x in (3) liegend, also keine klein- 
ste Ellipse. 
im drittea Falle. Werthe kleiner als beide Werthe voa 
a; in (5), also eine kleinste Ellipse môglidi. 
(*) Els liisst sich aber auch zeigen , dass in diesera Falle, 
durch die vier Scheitel gar keine Ellipse beschrieben werdea 
kann (also dass ein Sclieilcl innerhalb des von deo andren ge- 
bildclen Dreiecks liegt). Denn , welches auch die Werthe Toa 
E> , F sein môgen, so hegen die Werthe der posititen Grosse 
E^ 
C immer innerhalb der Grenzen C = — und C = 0. Dièse 
F 
beiden Werlhe geben aber fiir R eine négative Groîse , als« 
auch nach der Form des Ausdrucks aile zwiichen ihnen liegea- 
den Werthe. 
