HO H. E. Boeke, Eine Anwendung mehrdimensionaler Geometrie 



Die eindeutige graphische Darstellung des Verhältnisses 

 von fünf Komponenten erfordert vier Dimensionen, ist somit 

 im gewöhnlichen Kaume nicht möglich. Ebenso wie aber die 

 räumlichen Darstellungen im Tetraeder bei Vierstoffsystemen 

 durch ebene Projektionen eindeutig-quantitativ wiedergegeben 

 werden können, so ist auch beim vierdimensionalen Raum 

 eine eindeutige Projektion leicht ausführbar. Der Wahl von 

 mehr als fünf Komponenten und mehr als vier Dimensionen 

 für ihre Darstellung steht ebenfalls nichts im Wege, die Pro- 

 jektionen werden dann aber etwas weniger einfach. Wir 

 beschränken uns also vorläufig auf Fünfstoffsysteme. 



Die Kenntnis der Eigenschaften der mehrdimensionalen 

 Räume ist seit langer Zeit Gemeingut der Mathematiker, es 

 ließ sich somit erwarten, daß Betrachtungen dieser Art auch 

 beim vorliegenden, klar umschriebenen Problem eine brauch- 

 bare Lösung herbeiführen würden. Im übrigen sind hier nur 

 die allereinfachsten Sätze der mehrdimensionalen Geometrie, 

 und zwar in unmittelbarer Anlehnung an die Turmalinfrage, 

 verwendet. Anwendungen auf andere Minerale oder chemische 

 Systeme können dann mut. mut. leicht durchgeführt werden. 

 Um Mißverständnissen vorzubeugen, wollen wir aber betonen, 

 daß auf eine sinnliche Vorstellung des mehrdimensionalen 

 Raumes von vornherein verzichtet wird. Eine elementare, 

 nur euklidische Behandlung der mehrdimensionalen Geometrie 

 findet sich bei P. H. Schoute, Samml. Schubert, No. 34 und 

 35, Leipzig 1902 und 1905. Dieses Werk wurde für die 

 nachfolgenden Erörterungen ausschließlich zu Rate gezogen. 

 Die rein geometrische (nicht analytische) Behandlung der 

 mehrdimensionalen Geometrie, welche z. B. G. Veronese, 

 Übersetzung von A. Schepp, Leipzig 1894, bietet, ist für 

 unsere praktischen Zwecke weniger geeignet. 



§ 2. Die Komponenten des Turmalins. 



Der Turmalin ist bekanntlich ein homogener Mischkristall 

 von im wesentlichen 13 Oxyden, und zwar den einwertigen 

 elektropositiven Na 2 0, Li 2 0, K 2 und H 2 0, den zweiwertigen 

 MgO, CaO, FeO undMnO 1 , den dreiwertigen Al 2 8 , Fe 2 3 



1 Vielleicht tritt das Mangan auch dreiwertig- auf. 



