112 H. E. Boeke, Eine Anwendung mehrdimensionaler Geometrie 



§ 3. Die Darstellung der Komponenten im vier- 

 dimensionalen Räume. 



Zur Darstellung der Mengen der fünf Komponenten be- 

 nutzen wir vier Koordinatenachsen, ausgehend von einem 

 Punkte E und nur Winkel von 90° miteinander bildend. Auf 

 diesen Achsen tragen wir von E aus jedesmal eine Strecke 

 gleich 100 ab und bezeichnen die erhaltenen Punkte mit A, 

 B, C und D. In diesen Punkten finden die reinen Kom- 

 ponenten H 2 0, R 2 0, RO und R 2 3 der Reihe nach ihre 

 Darstellung, während der Ursprungspunkt E für die Kom- 

 ponente (Si0 2 + B 2 3 ) gilt. Die fünf Punkte A bis E be- 

 schreiben ein in E rechtwinkliges Pentaeder im vierdimen- 

 sionalen Räume. Dieses Pentaeder wird begrenzt durch 

 5 4 



— g— = 10 geradlinige Kanten (jedesmal durch zwei der Eck- 



5 4 3 



punkte), 2 3 — 10 Ebenen (jedesmal durch drei Eckpunkte) 



und 5 dreidimensionale Räume (jedesmal durch vier Eck- 

 punkte). Beliebige Turmaline werden dargestellt durch Punkte 

 innerhalb dieses Pentaeders. Durch Projektionen sind diese 

 Punkte in ihrer gegenseitigen Beziehung sinnlich wahrnehm- 

 bar zu machen. 



Nach obigem bestehen die Begrenzungselemente des für 

 die Darstellung gewählten Pentaeders aus je zwei Gruppen. 

 Unter den Ecken nimmt E eine Sondersteilung gegenüber A, 

 B, C und D ein; von den Kanten haben vier — die Koordi- 

 natenachsen — eine Länge 100, die übrigen eine Länge 

 100 V 2 ; von den Grenzflächen sind die 6, welche E enthalten, 

 rechtwinklige Dreiecke, die übrigen gleichseitige Dreiecke mit 

 der Kantenlänge lOOV 2 ; schließlich sind die 4 begrenzenden 

 dreidimensionalen Räume, welche E als Eckpunkt aufweisen, 

 rechteckige Tetraeder, während das letzte, durch A, B, C 

 und D bestimmte Grenztetraeder ein gleichseitiges ist. Im 

 nachfolgenden sollen die Punkte, Geraden, Ebenen, dreidimen- 

 sionalen Räume und der vierdimensionale Raum nach der 

 Dimensionenzahl gelegentlich als S , S 1? S 2 , S 3 und S 4 be- 

 zeichnet werden. 



Auf den ersten Blick dürfte es einfacher scheinen, ein 

 gleichseitiges Pentaeder für die Darstellung zu benutzen 



