114 H. E. Boeke. Eine Anwendung mehrdimensionaler Geometrie 



Beim vierdimensionalen Pentaeder ist der Beweis z. B. folgender- 

 maßen analytisch zu führen. Das durch A, B, C und D definierte Tetraeder 

 S 3 liegt symmetrisch in bezug auf die Koordinatenachsen EA bis ED. 

 Das aus E auf S 3 gefällte Lot bildet also mit diesen Achsen gleiche 

 Winkel «. Die Länge des Lotes sei p. Nennen wir die Koordinaten 

 eines beliebigen Punktes von S 3 x,, x 2 , x 3 , x 4 , so wird S 3 nach der Hesse- 

 schen Normalgleichung (vergl. Schoüte, I. p. 138) dargestellt durch 



(X, + X 2 + X 3 + X 4 ) COS a = p. (1) 



In S 3 liegen die Punkte A, B, C und D mit den Koordinaten A (100, 0, 0, 0), 

 B (0, 100, 0, 0), C (0, 0, 100, 0) und D (0, 0, 0, 100). Diese Punkte müssen 

 der obigen Gleichung (1) genügen, also 



100 cos a = p. (2) 



Ein beliebiger Punkt P im Pentaeder S 4 habe die Koordinaten 

 a, b, c und d. Es wird dann die Länge 1 des Lotes aus P auf S 3 gegeben 

 durch 



1 = p — (a + b + c + d) cos a, 

 = (100 — a — b — c — d) cos «. (3) 



Die oben erwähnte Strecke von P bis S 3 parallel einer Ko- 

 ordinatenachse ist gleich — ^ und somit nach (3) für jeden be- 



COS a 



liebigen Punkt des Pentaeders gleich e. 



§ 4. Die Projektion von Punkten, Geraden, Ebenen 

 und dreidimensionalen Räumen im Pentaeder. 



Wir projizieren die Punkte im Pentaeder orthogonal auf 

 vier Ebenen, die jedesmal durch zwei der Koordinatenachsen 

 hindurchgehen. Diese Achsen denken wir uns sämtlich in 

 eine Zeichenebene gelegt, wie es aus Fig. 3 unmittelbar er- 

 sichtlich ist (vergl. Schoüte, I. p. 84). Die Darstellung eines 

 beliebigen Punktes des vierdimensionalen Raumes wird dann 

 besonders einfach. Die Übersichtlichkeit wird noch dadurch 

 erhöht, daß in unserem Fall nur Punkte innerhalb des Penta- 

 eders in Frage kommen, die somit stets positive Koordinaten 

 aufweisen. Jede Projektionsebene wird infolgedessen durch 

 einen Quadranten der Fig. 3 dargestellt und die Projektionen 

 überlagern sich nicht. Die Projektion des ganzen 

 Pentaeders ist durch ein Quadrat umgrenzt, dessen Eck- 

 punkte eine Entfernung gleich 100 vom Zentrum der Pro- 

 jektion aufweisen. 



In Fig. 3 ist die Projektion eines beliebigen Punktes P 

 innerhalb des Pentaeders mit den Koordinaten a, b, c und d 



