116 H. E. Boeke, Eine Anwendung mehrdimensionaler Geometrie 



umständlicher als beim Rechteck der Fig. 3 für den vierdimensionalen 

 Raum, die unbeschränkte Zahl der Dimensionen und infolgedessen der zu 

 wählenden Komponenten ohne Überlagerung der Projektionen kann aber 

 unter Umständen von großem Vorteile sein.. 



Auch im mehrdimensionalen Räume gilt die Schwer- 

 punktsbeziehung: denkt man sich den Komplex P auf- 

 geteilt in die Komplexe Q, R, S . . ., so liegt der darstellende 

 Punkt P im mechanischen Schwerpunkte des Raumes Q, R, 

 S . . ., wenn man sich die Massen P, Q, R, S . . . wie par- 

 allele Kräfte in den Punkten P, Q, R, S . . . angreifend vor- 

 stellt (vergl. hierzu Schocte, I. p. 135 ff.). — 



Zwei Punkte P und Q im S 4 bestimmen eine Gerade. 

 Die Projektion des S x ist somit aus der Projektion zweier 



seiner Punkte ohne weiteres 

 gegeben (Fig. 5). Kann ein 

 Komplex der 5 Komponenten 



— in unserem Falle ein be- 

 stimmter Turmalinmischkristall 



— als Mischung zweier Ver- 

 bindungen (P und Q) betrach- 

 tet werden, so muß der dar- 

 stellende Punkt dieses Tur- 

 malins eine Projektion auf den 

 Projektionen der Geraden PQ, 

 und zwar immer zwischen 

 den Punkten P und Q, be- 

 sitzen. Deshalb ist auch die 



Gerade im S 4 für unsere Frage wichtig 1 . Besondere 

 Lagen der Geraden parallel den Kanten, Flächen oder Grenz- 

 räumen S 3 des Pentaeders sollen hier nicht allgemein be- 

 handelt werden; es möge dafür auf die Ausführungen Schoute's 

 (I. p. 89 ff.) verwiesen werden. Das für unseren Spezialfall 

 Erforderliche wird sich nachfolgend ergeben. Wie bei den 



1 Es möge gleich betont werden , daß natürlich auch eine rech- 

 nerische Prüfung durchprobieren bei den Theorien über die Turmali n- 

 zusammensetzung an die Stelle der hier befolgten graphischen Methode 

 treten kann. Aber in bezug auf die Feststellung der Mischungs- 

 grenzen des Turmalins in den verschiedenen Richtungen geht diese 

 graphische Methode, auch abgesehen von ihrer Anschaulichkeit, über die 

 rechnerische weit hinaus. 



