auf chemisch-mineralogische Fragen etc. 



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Punkten P und Q (Fig. 5) sind auch bei der Geraden zwei 

 der vier Projektionen von den zwei anderen abhängig. — 

 Durch drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte P, 

 Q und R ist eine Ebene bestimmt. Die Durchschnitts- 

 punkte dieser Ebene mit den Koordinatenebenen, sowie die 

 Spurgeraden mit den dreidimensionalen Koordinatenräumen 

 lassen sich leicht konstruieren (vergl. Schoute, I. p. 93 ff.), 

 sie sind aber für unseren Fall weniger wichtig. Von be- 

 sonderem Interesse ist jedoch die Prüfung, ob ein gegebener 

 Turmalin mit dem darstellenden Punkte T in der Ebene PQR 

 liegt oder nicht, weil dadurch entschieden wird, ob der 

 Turmalin als Mischung der durch P, Q und R dargestellten 

 Komplexe (chemische Verbindungen, „Moleküle" l ) aufgefaßt 

 werden darf. Die Prüfung, ob eine solche Deutung eines 

 gegebenen Turmalins statthaft ist, gelingt leicht, wenn man 

 bedenkt, daß 



1. der Punkt T in jeder der 4 Projektionen 

 innerhalb des Dreiecks PQR liegen muß (Schwer- 

 punktsbeziehung) und 



2. eine Gerade durch P und T die Verbindungs- 

 linie QR schneiden muß, was sich dadurch äußert, daß 

 der Schnittpunkt t in den vier Projektionen (Fig. 6) der Recht- 

 eckskonstruktion der Fig. 3 p. 115 entspricht. Ebenfalls 

 können Geraden QT und PR bezw. RT und PQ für diese 

 Prüfung verwendet werden. 



Nur wenn die beiden Bedingungen gleichzeitig erfüllt 

 sind, kann T als eine Mischung von P, Q und R aufgefaßt 

 werden. Es muss aber hervorgehoben werden, daß man T 

 auf unendlich viele Weisen in 3 Moleküle zerlegen kann und 

 daß man daher den Satz nicht umkehren darf: das Erfülltsein 

 der Bedingungen 1 und 2 beweist keineswegs, daß der be- 

 treffende Turmalin aus den angenommenen Molekülen P, Q 

 und R besteht, — 



Vier nicht in einer Ebene liegende Punkte P, y, R, S 

 im S 4 beschreiben ein Tetraeder S 3 . Werden diese Punkte 



1 Im Interesse der Deutlichkeit sollen die chemischen Verbindungen, 

 die als Mischungsglieder des Turmalins angenommen wurden, als Mole- 

 küle, die das Mineral aufbauenden Oxyde dagegen als Komponenten 

 bezeichnet werden. 



