120 H. E. Boeke, Eine Anwendung' mehrdimensionaler Geometrie 



durch PT und P 1 T 3 unendlich viele S 3 , von denen wir 

 denjenigen verwenden, der sich in P x T t projiziert 1 [vergl. 

 p. 145]). Der genannte S 3 schneidet die S 2 (Q RS) in einer 

 Geraden g, deren erste Projektion g } mit h t zusammenfällt. 

 In der zweiten Projektion findet man g 2 durch Herunterloten 

 des Schnittpunktes p x von g, und Q, R x auf Q 2 R 2 und des 

 Schnittpunktes q t von g 1 und Q L S x auf Q 2 S 2 . Entsprechend 

 bestimmt man g 3 und g 4 durch Anwendung der Rechtecks- 

 konstruktion für p und q. Andererseits sind h 2 , h 3 und h 4 

 als Verbindungslinien P 2 T 2 , P 3 T 3 und P 4 T 4 bekannt. 



Da nun 1. g und h dem S 3 (PQRS) angehören und 

 2. in dem durch h, und h bestimmten S 3 enthalten sind, so 

 gehören sie dem gemeinsamen S 2 dieser beiden S 3 's an. Sie 

 müssen sich also schneiden. Den Schnittpunkt ersieht man 

 leicht in der zweiten Projektion als Punkt t 2 und findet dann z x 

 in der ersten Projektion durch Heraufloten. In der dritten 

 und vierten Projektion schneiden sich g 3 und h 3 in t 3 , g 4 und 

 h 4 in t 4 . 



Wenn sich nun g und h wirklich schneiden, so müssen 

 die Schnittpunkte t 3 und r 4 sich mit % % und t 2 zu einem 

 Rechteck zusammenschließen. Ist umgekehrt die letztere Be- 

 dingung erfüllt, so gibt es in QRS jedenfalls eine Gerade g, 

 die h trifft. Also trifft h auch QRS und gehört dann 

 samt T dem S 3 (PQRS) an. Die Prüfung, ob T dem S 3 

 (PQRS) angehört, erfordert somit die folgende einfache Kon- 

 struktion : 



Man verbindet in den vier Projektionen T 

 und P durch eine Gerade h; bestimmt die zum 

 Schnittpunkte p x in der ersten Projektion ge- 

 hörigen Punkte p 2 , p 3 und p 4 auf QR mittels eines 

 Rechtecks; desgleichen für q auf QS; dann zieht 

 man die Geraden g 2 , g 3 und g 4 alsVerbindung von 

 p und q. Bilden die Schnittpunkte (r, x 2 t 3 t 4 ) der 

 Projektionen von g und h ein Rechteck, so liegt 

 T im S 3 (PQRS), sonst nicht. 



1 Analogou im dreidimensionalen Eaume: eine Linie h und ihre 

 Projektion h, liegen im allgemeinen in einer Ebene. Fallen aber h und h, 

 zusammen, so gehen durch diese Linie unendlich viele Ebenen, von denen 

 jedoch nur eine die Linie h, zur Projektion hat. 



