126 H. E. Boeke, Eine Anwendung mehrdimensionaler Geometrie 



innerhalb der schraffierten Felder projizieren, alle Punkte 

 dieser Felder sind aber nicht Projektionen von Raumpunkten 

 im Tetraeder. Man sieht die letztere Tatsache sofort ein, 

 wenn man den Koordinatenursprung oder Punkte in seiner 

 unmittelbaren Nähe betrachtet, die zwar den vier schraffierten 

 Feldern angehören, aber die Projektion des reinen oder nahezu 

 reinen (Si0 2 + B 2 3 ) darstellen und somit nicht Punkten des 

 Tetraeders entsprechen, d. h. nicht der PENFiELD-FooTE'schen 

 Formel gehorchen. 



Die eingeschränkte Formel von Pexfield und Foote er- 

 gibt die folgenden Extreme 



H 2 R,0 RO R 2 3 ißjX) 

 5|H 2 0.1iR 2 3 .5(Si0 2 + B 2 3 ) = 45,83 - — 12,50 41,67 



1H 2 0.41R 2 .liß 2 O 3 .5(Si0 2 + B 2 3 ) = 8,33 37,50 — 12,50 41,67 

 1H S 0.4|R0 .l|R 2 3 .5(Si0 2 + B 2 3 ) = 8,33 — 37,50 12,50 41,67 

 1H 2 0.3R 2 3 .5 (Si0 2 f- B 2 3 ) = 11,11 — — 33,33 55.56 



Das diesen Molekülen entsprechende Tetraeder ist als 

 Projektion in Fig. 9 durch eine doppelte Schraffur dar- 

 gestellt. 



9. F. W. Clarke faßt seine Arbeiten über die Turmalin- 

 zusammensetzung (Bull. U. S. Geol. Survey. No. 125. 1895. 

 56; No. 167. 1900. 26; Amer. Journ. of Sc. 1899. 8. 111) in 

 seinem Buche The Data of Geochemistry. Washington 1911. 

 392 (Bull. U. S. Geol. Survey. No. 491) dahin zusammen, daß 

 die folgenden allgemeinen Formeln gelten 



1. Al 8 R 5 Si 6 B 3 31 



2. Al 7 R 8 Si 6 B 3 3] 



3. Al 5 R 14 Si 6 B 3 31 , 



wo Wasserstoff unter den Komponenten R wichtig und in 



No. 3 R weitgehend durch R (Fe oder Mg) ersetzt ist. Wie 

 man sieht, weichen die obigen Formeln von der Penfield- 

 FooxE'schen H 20 B 2 Si 4 O 21 nur sehr wenig ab. 



10. H. Rheineck (Zeitschr. f. Krist. 1899. 31. 385) schließt 

 sich der Formel H 20 B 2 Si 4 O 21 im allgemeinen an, leitet aber 

 aus den damals vorliegenden Analysen ein Schwanken zwi- 

 schen Al 8 Si 6 B 3 H 5 31 und Al 5 Si 6 B 3 H 14 31 ab. 



