140 H. E. Boeke, Eine Anwendung' mehrdimensionaler Geometrie 



Eisenturraalinen hervorgeht (vergl. besonders E. A. Wülfing, 

 Progr. Landwirtsch. Akad. Hohenheim. 1900). 



bemerkenswert ist die Tatsache, daß die nahezu RO- 

 freien Alkaliturmaline eine recht konstante Zusammensetzung 

 besitzen, die dem RiGGs'schen Molekül a (12Si0 2 . 3B 2 3 . 

 4 H 2 . 8 Al 2 3 . 2 (Na, Li) 2 0) mit großer Annäherung ent- 

 spricht. Hiermit ist die Zuspitzung des Mischungsfeldes in 

 den Projektionen II und III der Fig. 11 und 12 im Einklang. 

 Demgegenüber ist für die RO-reichen Turmaline ein weites 

 Schwanken des Gehaltes an dieser Komponente möglich, 

 was durch eine umgekehrte Änderung im R 2 3 - Gehalte kom- 

 pensiert wird, so daß die Summe der H-Äquivalente konstant 

 bleibt. 



Die Form des Mischungsfeldes in der Projektion II zeigt, 

 daß ein hoher Gehalt an Komponente RO ein Zurücktreten 

 von R 2 bedingt. Die Komponenten R 2 und RO können 

 aber im Turmalin nicht gleichzeitig fehlen ; diese Tatsache 

 findet in der Grenze des Feldes im Quadranten II in der 

 Gegend des Koordinatenursprungs ihren Ausdruck. 



Bei der Deutung der Fig. 11 und 12 ist darauf zu achten, 

 daß Projektionen die Gestalt eines Körpers nicht restlos 

 wiedergeben. So liefert eine dreidimensionale Kugel mit einem 

 beliebigen Hohlraum im Innern als Umriß der Projektion 

 immer, eine durchbohrte Kugel im allgemeinen einen Kreis. 

 Vermehrt man die Zahl der Projektionen, so wird der Schluß 

 auf die Form des projizierten Körpers dadurch sicherer. 

 Deshalb sind auch die Projektionen des Turmalinmischkörpers 

 in Fig. 11 und 12 nebeneinander zu verwenden. Weiterer 

 Aufschluß wäre aus Durchschnitten des Körpers zu er- 

 halten. Bei Mischkörpern wie denjenigen des Augits und 

 Glimmers im dreidimensionalen, des Turmalins im vierdimen- 

 sionalen Raum sind aber kleinere Einbuchtungen und Löcher 

 wenig wahrscheinlich. Zusammenfassend kann man somit 

 sagen: Vorausgesetzt, daß die Umgrenzungen in 

 Fig. 11 und 12 der Variabilität der Turmalinkom- 

 ponenten genau entsprechen, mit anderen Worten 

 exakte Projektionen des Turmalinmischkörpers 

 darstellen, so muß jeder Turmalinpunkt sich inner- 

 halb dieser Umgrenzungen projizieren, aber nicht 



