142 H. E. Boeke, Eine Anwendung mehrdimensionaler Geometrie 



Pentaeders. Vergleicht man die 4 Mischungsfelder in den 

 4 Quadranten mit der graphischen Darstellung der reduzierten 

 Penfield-Fo o te 'sehen Formel H 9 Al 3 (BOH) 2 Si 4 ]9 , wie sie 

 in Fig. 9 (p. 125) durch doppelte Schraffur angegeben war, so 

 zeigt sich (Fig. 14), daß die Projektionen des Turmalinmisch- 

 körpers allerdings innerhalb der entsprechenden theoretischen 

 Felder liegen. Aber ein erheblicher Teil der festen Lösungen, 

 die der Formel H 9 Al 3 (BOH) 2 Si 4 19 entsprechen würden, ist 

 nach dem bisherigen Befunde des Naturvorkommens aus- 

 geschlossen, so daß diese Formel als Ausdruck für die Tur- 

 malinzusammensetzung keinen Nutzen bietet. 



Fig. 14. 



Es bleibt nunmehr noch die Frage zu untersuchen, ob die 

 Punkte des Turmalinmischkörpers im vierdimensionalen Räume 

 vielleicht einem S 3 oder S 2 angehören. Dieses ist aus den 

 Projektionen nicht unmittelbar ersichtlich, kann aber durch 

 die Konstruktionen p. 118 und 119 entschieden werden. Als S 3 

 kommt nur derjenige in Betracht, der die Tetraederdarstel- 

 lung der PENFiELD-FooTE'schen Formel H 20 Si 4 B 2 O 21 enthält. 

 Ein beträchtlicher Teil der untersuchten Turmaline fügt sich 

 ja dieser Formel mit großer Annäherung. Der betreffende S 3 

 ist im Interesse genauer Zeichnungen, aber unter Anlehnung 

 an die Gestalt der Projektionen Fig. 11 durch die folgenden 

 willkürlichen Punkte PQRS, die der PENFiELD-FooTE'schen 

 Formel entsprechen und nicht in einer Ebene liegen, bestimmt : 



