auf chemisch-mineralogische Fragen etc. 



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Zusammenfassung. 



1. Für die eindeutig-quantitative graphische Darstellung 

 der Komponentenmengen in Fünf- und Mehrstoffsystemen eignen 

 sich die Methoden der mehrdimensionalen Geometrie. Be- 

 sonders einfach werden die Verhältnisse im vierdimensionalen 

 Räume, welche näher erörtert werden. Es werden behandelt : 

 das Koordinatensystem ; die Darstellung von Punkten (S ), Ge- 

 raden (S t ), Ebenen (S 2 ) und dreidimensionalen Räumen (S 3 ) im 

 vierdimensionalen Raum (S 4 ); die Prüfung, ob drei Punkte 

 einem Si, vier Punkte einem S 2 und fünf Punkte einem S 3 

 angehören. Diese Methoden können für zahlreiche Probleme 

 der Chemie und Mineralogie nützlich sein. 



2. Die allgemeine Darstellungsmethode wird auf den 

 Turmalin angewandt zur Ermittlung der Grenzen der Misch- 

 kristallbildung in diesem Mineral. Als Komponenten gelten 

 H 2 0, R 2 (=Na 2 + Li 2 + K 2 0), RO(=MgO + CaO + 

 Fe + Mn 0), R 2 3 (= AI, 3 + Fe 2 3 + Ti 2 3 ) und (Si 2 + 

 B 2 3 ). 



3. Die zahlreichen Theorien über die Turmalinzusammen- 

 setzung werden zusammengestellt und von dem unter 1. und 2. 

 genannten Standpunkte betrachtet. 



4. 54 zuverlässige neuere Turmalinanalysen werden als 

 Punkte des vierdimensionalen Raumes eingetragen und dis- 

 kutiert. 



5. Unter den Theorien der Turmalinzusammensetzung 

 scheint diejenige von Penfield und Foote richtig zu sein, 

 wenn sie auch die Frage nach den Grenzen der Veränderlich- 

 keit der Turmalinmischkristalle noch nicht löst: ersetzt man 

 die Metallatome des Turmalins durch Äquivalente Wasserstoff, 

 so ist das Verhältnis Gesamtwasserstoff : Si 2 : B 2 3 nahezu 

 gleich 20 : 4 : 1 (Mittel aus den 54 Analysen 19,88 : 4,00 : 0,95). 

 Der Turmalin könnte danach auf die Formel H 20 Si 4 B 2 O 21 

 zurückgeführt werden. 



6. Die einzelnen Turmalinpunkte im S 4 gehören keinem 

 gemeinsamen S 3 oder S 2 an. Wäre die PENFiELD-FooTE'sche 

 Formel streng gültig, so müßten alle Turmalinpunkte dem 



