E. A. Wülfing, Ueber kristallographiscbe Kaleidoskope. 49 



allen Einsätzen des holoedrisch-regulären Kaleidoskops 45°, 90° 

 und 60°, bei allen Einsätzen der quadratischen Kaleidoskope 90°, 

 90° und 45° und so entsprechend bei den andern Spiegelecken. 

 Die anderen drei Winkel zwischen und I, und II, und III, 

 können aber bei den verschiedenen Einsätzen voneinander ab- 

 weichen. Für den Wert der Normalenwinkel cp OI , cp OII , cp on ^ tyoiv 

 dieser Flächen gilt bei rechtwinkeligem Achsenkreuz und bei dem 

 Achsenverhältnis a : b : c die Formel 



(bc)Mi h I + (ac) 2 k k r + (ab) 2 l l I 



cos <p r — — ■ • 3— 



y(b c) 2 h o 2 + (a c) 2 V + (a b) 2 1 2 y( b c) 2 + (ac)» V + ( a 



die durch zyklische Vertauschung der Indizes zu den Werten für 

 ^oin '/'oim <poiv führt. Diese Formel gilt für das rhombische 

 System, für das reguläre System nimmt sie folgende Gestalt an: 



COS (ß T — — — 



In manchen Fällen lassen sich diese Winkel cp, auch ohne die 

 Formel, durch ganz einfache stereometrische Überlegungen finden, 

 z. B. muß der Hexaedereinsatz die Normalenwinkel cp Ql = 90°, 

 <p oU = 90°, cp oU1 = 135° tragen, da die Hexaederfläche diese 

 Winkel mit den durch die Spiegel dargestellten Symmetrieebenen 

 bildet. 



2. Bere c h n ung der Kanten w i n k e 1. Diese Winkel 

 werden von den Kanten der Netze gebildet. Jedes Netz hat zwölf 

 solcher Kantenwinkel, die in Fig. 6 mit # x bis # 12 bezeichnet sind 

 und sechs verschiedene Kanten, die in Fig. 6 die Ziffern 1 bis 6 

 tragen. 



Die Kantensymbole dieser sechs Kanten seien [lukxlj], 

 [h, k 2 1 2 ], ... [h 6 k 6 1 6 ], die sich nach bekanntem Rechenschema 

 aus den aneinanderstoßenden Flächen 0, I, II, III berechnen. 

 Die Winkel der Kanten findet man nach den Formeln: 



COS .9-j == COS« 2 COS « 3 -|- COS ß 2 COSß, -j- COS;'., COS;' 3 



cos i9- 2 = cos « 3 cos «j -|- cos /? 3 cos ^ T -|- cos / 3 cos y 1 



COS ^ 3 = COS« t COS « 2 -j- COS/?, COS fi 2 -(- COSj'j COS 



COS ,9- 4 = COS « 4 COS ßg -{- cos/? 4 cos,i 6 -f- cos ^ 4 cos;/ 6 usw., 



wo cos usw. die Richtungskosinusse der Kanten sind. Diese 

 Richtungskosinusse berechnen sich aus den Kantensymbolen 

 (hx ki Ix) usw. nach folgenden Formeln : 



N. Jahrbuch f. Mineralogie etc. 1912. Bd. [. 4 



