114 



E. Fedorow, Ueber seine beiden Werke. 



Diese unwesentliche Veränderung gewährt aber sogleich die Möglich- 

 keit, aufs einfachste verschiedene hieher gehörige Fragen analytisch zu 

 behandeln. 



Nehmen wir z. B. eine p-zählige Symmetrieaxe als die Coordinaten- 

 axe y an, für die Coordinatenaxe y Q eine beliebige Gerade in der zu y 

 senkrechten Ebene, und für die Coordinatenaxen y 13 y 2 . . . . yj solche Ge- 

 raden in derselben Ebene, welche die Bedingungen 



y yt — JiJ2 =--... = Ji-ifi = ■ ■ = 2tt/p 



erfüllen, so ist der analytische Ausdruck dieser Axen 



p p 

 y = b y Q — bj y, = b i+J 



wo der Parameter i verschiedene Grössen annehmen kann (0,1, . ., p — 1). 

 Diese Gleichungen zeigen aufs Deutlichste, dass, wenn eine p-zählige Sym- 

 metrieaxe gegeben ist, zugleich von einem gegebenen Punkt (y = b G , j t = 

 von selbst p — 1 andere Punkte abgeleitet werden , die zusammen eine 

 symmetrische Punktgruppe bilden (statt des Punktes kann man auch ein 

 beliebiges anderes geometrisches Gebilde nehmen, z. B. eine Gerade, eine 

 Ebene , eine krumme Fläche u. s. w. , und immer kommt man für eine 

 symmetrische Gruppe derselben Gebilde zu einem analytischen Ausdruck). 



Ebenso entsteht, wenn z. B. der p-zähligen Symmetrieaxe y noch die 

 2-zählige in der zu der ersteren senkrechten Ebene j j t . . beigegeben 

 wird, die symmetrische Punktgruppe 



k p p 



y == nb y = b £ y t - b 1 + u k 



wo n die negative Einheit bedeutet und k eine der Zahlen oder 1. 



In dieser Weise werden die Gleichungen für sämmtliche Symmetrie- 

 arten angegeben, wobei die vollständige Ableitung dieser Symmetriearten 

 von dem neueren Standpunkt aus repetirt wird. Bekanntlich ist diese voll- 

 ständige Ableitung zum ersten Mal in der ausführlichen Arbeit desselben 

 Verfassers, „Die Elemente der Theorie von den Figuren" (III. Abtheilung), 

 erschienen, welche von Seiten der K. Mineral. Ges. zu St. Petersburg im 

 Jahre 1883 dem Druck übergeben wurde. 



Die erhaltenen Resultate werden in einer Tabelle zusaminengefasst. 

 welche in deutscher Sprache schon in dem Artikel des Verfassers in dies. 

 Jahrb. 1890. I. 237 — 242 theilweise reproducirt wurde, namentlich in 

 Bezug auf die krystallographischen Systeme, also die einfachsten unter den 

 überhaupt möglichen geometrischen Systemen. 



In der grösseren zweiten Abhandlung wird die Aufgabe — sämmtliche 

 regelmässige Systeme der Figuren abzuleiten und analytisch auszudrücken — 

 gestellt und vollständig gelöst. Die analytische Behandlung hat u. A 

 schon den grossen Vorzug, dass die Frage darüber, welcher Symmetrieart 

 ein gegebenes regelmässiges Punkt- (bezAv. Figuren-) System zugeschrieben 

 werden dürfe , sich von selbst beantwortet , weil die den Gleichungen zu- 

 gehörigen Parameter die Symmetrieart des betreffenden Systems unmittelbar 

 und unzweideutig ersichtlich machen: jeder Parameter drückt eine bestimmte 



