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desselben Punktes P zusammen, welche durch p Re- 

 flexionen an beiden Spiegeln entstanden sind, von denen die 

 eine Reihe am ersten, die zweite am zweiten Spiegel be- 

 gonnen hat. 



Aus diesen Beziehungen folgen unmittelbar für p — 2 

 und p = 3 die oben besprochenen Darstellungen. Die beiden 

 in dem Scheitelwinkel der Spiegel erscheinenden Bilder können 

 leicht bei verschiedener Stellung des Auges wahrgenommen 

 und so bei der vorausgesetzten stabförmigen Form 4es ein- 

 gelegten Theils der Oberfläche die äussere und innere 

 Seite derselben im Gesammtbilde fast vollständig überblickt 

 werden. 



3) Bei weitem am interessantesten ist aber die Darstel- 

 lung von Krystallformen , welchen drei und mehr — sich 

 in einem Punkte schneidende Symmetrieebenen — zukommen, 

 mittelst der von drei eine Ecke bildenden Planspie- 

 geln erzeugten Bilder eines Theils der Oberfläche. 



Uber die Theorie dieser räumlichen Winkelspiegel will 

 ich hier nur die wichtigsten in Betracht kommenden Sätze 

 im folgenden kurz anführen, indem ich wegen der Begründung 

 derselben auf meine oben erwähnten Schriften und eine vor 

 kurzem erschienene Abhandlung 1 verweise. 



Befindet sich ein Punkt P innerhalb einer drei- (oder 

 mehr-) flächigen Ecke, deren Flächen auf der Innenseite als 

 spiegelnd vorausgesetzt werden, so liegen sämmtliche durch 

 die vereinte Wirkung der Spiegel erzeugten Bilder mit dem 

 Punkte P selbst auf einer Kugelfläche, deren Mittelpunkt der 

 Scheitel der Ecke ist. Die drei- oder mehrflächige Ecke er- 

 zeugt als Kugelschnitt ein sphärisches Dreieck oder Polygon, 

 innerhalb dessen der Punkt P liegt. 



Die Anzahl und Lage der entstehenden Bildpunkte hängt 

 in bestimmter Weise von den Neigungswinkeln je eines in 

 einer Kante zusammenstossenden Spiegelpaares und von der 

 Lage des Punktes P innerhalb des Polygons ab. Die von 

 einem Spiegelpaare an einer Ecke erzeugten und um dieselbe 



1 E. Hess: „Über die Zahl und Lage der Bilder eines Punktes bei 

 drei eine Ecke bildenden Planspiegeln." Sitzungsber. d. Gesellsch. z. Bef. 

 d. ges. Naturw. zu Marburg. Januar 1888. 



