60 



concentrisch gruppirteu Bildpunkte sind im Allgemeinen wieder- 

 um Objecte für die in den übrigen Ecken des Polygons sich 

 schneidenden Spiegelpaare. Nur von denjenigen Bildpunkten 

 können keine weiteren Bilder entstehen, welche innerhalb der 

 Scheitelwinkel sämmtlicher Spiegelpaare, also in der Gegen- 

 figur des sphärischen Polygons liegen. Hieraus erhellt dass 

 in allen Fällen die Zahl der Bildpunkte eine endliche sein 

 wird und dass in je einem Punkte bestimmter Theile der Kugel- 

 oberfläche die durch verschiedene Reflexionen entstandenen 

 Bilder desselben Punktes oder verschiedener Punkte der Fläche 

 des Polygons zusammenfallen werden. 



Die einfachsten und hier allein in Betracht kommenden 

 Fälle sind diejenigen, in welchen das sphärische Polygon so 

 beschaffen ist. dass es nebst seinen direct symmetrischen 

 und congruenten Wiederholungen ein zusammen- 

 hängendes sphärisches Netz liefert, welches die 

 K u g e 1 f 1 ä c h e einmal bedeckt. Die sämmtlichen Winkel 

 eines derartigen sphärischen Polygons, welches die Grenzfläche 

 eines aus m gleichen Flächen bestehenden Xetzes bildet, müssen 

 nun bekanntlich 



T) ^ _ 360° _ 360° ^ _ 360° 

 1 ~ n x ' 2 — n, ' ~ 3 ~ n 3 



sein, wo i^, n . n 3 . . . bestimmte ganze Zahlen bedeuten. 



Unter diesen sphärischen Polygonen und den ihnen zu- 

 gehörigen Centraiecken sind aber wiederum diejenigen, für 

 welche diese Zahlen n x , n 2 , n 3 ... sämmtlich gerade sind, 

 also irgend ein Flächenwinkel 



180 ü 



(2) ^i=-z-, (Pi=2, 3, 4...) 



ist. für unsere Betrachtung von besonderer Wichtigkeit. Denn 

 nur diese Ecken haben die Eigenschaft, dass die spiegelnden 

 Seitenflächen von jedem im Inneren liegenden Punkte P in — 1 

 Bildpunkte erzeugen, welche die zu P homologen Punkte 

 in den sämmtlichen Flächen des gleichflächigen sphärischen 

 Netzes sind und wobei alle in einem derartigen Punkte 

 zusammenfallenden Bildpunkte auch immer Bilder des- 

 selben Punktes P der ursprünglichen Fläche sind 1 . 



1 Ein einfaches combinatorisches Verfahren . durch welches man in 

 allen Fällen die Zahl der in einem Punkte zusammenfallenden Bildpunkte 



