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Bulletin scientifique. 



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en résolvant les e'quations conjointement avec xy xz 

 a% 



-f- yz ZZ — , on trouvera 



m 



x-=.yz=.z- V-, /• _ - - 



Maintenant , pour s'assurer qu'au résultat précédent 

 correspond un maximum du produit xy z , N a v i e r 

 cherche le terme du second ordre du développement de 

 la /onction V ~ xyz , c'est-à-dire \ dPV, et il trouve 

 2 dPV — zdxdy + ydxdz -j- xdydz. 



On voit par ce résultat que pour avoir dP-V, Navier 

 a différentié dV, sans y faire varier aucune des diffé- 

 rentielles dx , dy , dz , ce qui n'est pas permis , car en 

 vertu de la condition 



xy + xz + yz — — , 



une des variables x, y, z est fonction de deux autres, 

 ainsi, au moins une de trois différentielles dx-, dy, dz doit 

 être regardée comme variable. C'est donc pour avoir 

 traité toutes les différentielles dx, dy, dz comme cons- 

 tantes, que Navier a commis une inexactitude. Au lieu 

 de \dP-V ' — zdxdy -f- ydxdz -f- xdydz, il aurait dû, 

 en considérant , par exemple , z comme fonction de x 

 et y , prendre 



^d ï f r zz\ zdxdy -\- ydxdz -}- xdydz -f- — dPz» 



La différentielle seconde de l'équation xy -f- xz -f- yz 



ZZl — , prise dans la même hypothèse , donnant 

 2 



— dxdy -f- dxdz -f- dydz -f 



dPz, 



en multipliant cette équation par ). , ajoutant à la va- 

 leur précédente de \ dPV et ayant égard à l'équation 

 xy -f- L [x -\-y) — , il aurait trouvé 



ld 2 F = (* + /.) dxdy -f (y -f /.) dxdz -f (x -f- ?.) dydz. 

 C'est donc la quantité 



(z -\- /.) dxdy -f (j + À) dxdz -f- (x -f- /.) djïiz , 

 et non pas 



zdxdy -j- ydxdz -f- xdydz, 



qui doit être négative. A la vérité , les signes de ces 

 deux quantités sont les mêmes, mais cette circonstance 

 ne se présentera pas dans d'autres questions. 



Si l'on imitait la solution de Navier, dans le cas 

 où il s'agirait de rechercher les maxima et minima d'une 

 fonction quelconque V des trois variables x , y , z , 

 liées entre elles par l'équation 



=/(*,/, z) = U, 



il faudrait, après avoir déterminé x, y, z par les équations 



U ~ 0, dr + >.dU ZZ 0, 

 former dPV, en regardant dx dy dz comme constantes 

 et puis voir , si cette différentielle , c'est-à-dire , 



dyl J 1 rfx» 1 dxdy ™ 



rfi» dr a J 1 dx* 



dxdz ' dydz 



conserve un même signe pour toutes les valeurs de 

 dx, dy, dz, qui vérifient la condition 

 M du j dU 



Cette solution serait inexacte , vu qu'en formant d x V , 

 on aurait dû faire varier au moins une des différentiel- 

 les dx, dy, dz. 



3. II ne serait peut-être pas superflu de dire un mot 

 de la détermination des maxima et des minima relatifs.. 



Supposons qu'on demande les maxima et les minima 



d'une fonction u des variables x , y, z, relativement 



aux valeurs de ces variables qui remplissent les condi- 

 tions v zzz , w — , . . . , v , iv étant des fonc- 

 tions données de x, y, z . . . . 



Nous aurons d'abord les équations 



(i) du — , dv — , dw tZ, . . . 



La première , parce que la fonction u doit être un 

 maximum ou un minimum , et les autres , parce que 

 l'on ne considère que les valeurs de x,y, z,... satis- 

 faisant aux équations z 0, w Z 



Les équations (i) , par la méthode des facteurs indé- 

 terminés de Lagrange, peuvent être réduites à une 

 seule 



~ du -j- ),dv -f- udw , 

 qui doit avoir lieu quelles que soient dx, dy, dz...en 

 sorte qu'elle se décomposera en autant d'équations 



A du dv dw 



- Tx + k Tx + f dx~ + ' • • 

 du , . dv , dw , 



> = % + 'ç + " f + ■ • • 



du , , dv , dw , 



° = Tz+"d7 + ! l d7 + '-- 



qu'il y a de variables x , y , z 



Ces équations réunies avec v — , w zz . . . . four- 

 niront les valeurs de x , y , z ,..'/., ^ ... . qui rem- 

 pliront la première condition des maxima et minima. 

 Reste à en remplir la seconde , savoir que la différen- 

 tielle seconde de u conserve toujours un même signe. 

 Pour abréger et pour plus de commodité, nous désigne- 

 rons par dP-V la partie de la différentielle seconde 

 d'une fonction V de x, y, z . . . . qu'on obtient par la 



