Matematica. — Sur un thèorème de Liapounoff. Nota di 

 A. itosENBLATT, presentata dal Socio T. Levi-Civita. 



Questa Nota sarà pubblicata nel prossimo fascicolo. 



Matematica. — Sulla ricerca delle funzioni primitive. Nota I 

 di Leonida Tonelli, presentata dal Socio S. Pincherle. 



11 problema della ricerca delle funzioni primitive — problema da cui 

 ebbe origine il Calcolo integrale — è stato in particolar modo studiato e 

 approfondito, in quest'ultimo ventennio, da numerosi analisti, alcuni dei 

 quali (il Lebesgue e il Denjoy) hanno foggiato gli strumenti di calcolo ne- 

 cessari e sufficienti alla sua completa risoluzione. 



Conosciuta la derivata di una funzione, si tratta di determinare questa 

 funzione. Tale determinazione era già possibile, nel secolo scorso, per le 

 funzioni dotate di derivata continua (Cauchy) o, più generalmente, limitate 

 e integrabili nel senso di Riemann ; ma ben si conoscevano (Volterra) fun- 

 zioni aventi derivata non integrabile nel senso detto, pur essendo questa 

 derivata sempre limitata, e rimaneva perciò ancora insoluto il problema nel 

 caso generale. L'introduzione dell'integrale del Lebesgue — avvenuta sul 

 principio del secolo attuale — risolse d'un tratto il nostro problema, nel 

 caso della derivata limitata. Se f(x) ba. in ogni punto di un intervallo 

 (a,b). la derivata f'{x) limitata, l'integrale del Lebesgue della f (x) dà, 

 a meno di una costante, la funzione primitiva; si ha cioè la formula fon- 

 damentale 



valida per ogni x di (a , b) . 



La risoluzione, così ottenuta, del problema, nel caso detto, portò con 

 sè anche quella di un problema più generale che, sul declinare del secolo 

 scorso, era andato ponendosi (Dini, Volterra, Scheeffer ecc.) nello svolgersi 

 degli studi critici sui fondamenti dell'Analisi infinitesimale. Stabilito il con- 

 cetto di numero derivato (destro e sinistro, superiore e inferiore), come ge- 

 neralizzazione di quello di derivata, la questione che veniva naturalmente 

 a porsi era quella della determinazione (a meno di una costante) della fun- 

 zione primitiva in base alla conoscenza di uno dei suoi numeri derivati. 



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