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Tale questione, che già l'integrale di Riemann aveva risolto nei limiti stessi 

 in cui aveva risoluta quella relativa alla derivata, venne completamente 

 esaurita, dall'integrale del Lebesgue, per le funzioni dotate di numeri de- 

 rivati limitati, per le quali la formula (1) risultò valida, con la sostitu- 

 zione della f'{x) con un numero derivato. E l'integrale del Lebesgne offrì 

 la soluzione del problema pure in un caso più generale del precedente, 

 quello cioè delle funzioni primitive assolutamente continue ('), nel quale 

 conserva piena validità la formula (1), applicata ad un numero derivato in 

 luogo della derivata f'{x). 



Esistono peraltro funzioni aventi derivata Unita in ogni punto dell'in- 

 tervallo che si considera e non assolutamente continue, per le quali dunque 

 non può valere la formula (1); di più, la derivata, in questo caso, non è 

 neppure integrabile nel senso di Lebesgue. Si appalesò quindi la necessità 

 di istituire un nuovo procedimento di calcolo che permettesse di superare 

 anche questa difficoltà. Tale procedimento fu ideato dal DeDj'oy e fu da lui 

 chiamato di totalisation: noi lo chiameremo procedimento a" integrazione 

 alla Denjoy. Con esso il Denjoy risolse il nostro problema nel caso del nu- 

 mero derivato dato sempre finito. 



Non risulta però ancora esaurita la ricerca. Restano da esaminarsi le 

 funzioni con derivata o, più generalmente, col dato numero derivato non 

 sempre finito. Ma qui è necessario, prima di tutto, di precisare meglio il 

 problema da risolvere. In tutti i casi sino ad ora esaminati, il problema 

 ammette una sola soluzione, come risulta da un noto teorema di Scheeffer; 

 quando, invece, si considerano numeri derivati non sempre finiti, il problema 

 può ammettere infinite soluzioni e riuscire così indeterminato. Se, infatti, 

 la funzione f(x) ha, per es., il numero derivato destro superiore uguale 

 a -f- co ( — co) in tutti i punti di un insieme perfetto P (*), aggiungendo 

 ad essa una funzione <p(x) costante in tutti gli intervalli contigui a P e 



(') Le funzioni assolutamente continue (Vitali) costituiscono una classe compren- 

 dente quella delle funzioni a numeri derivati limitati, e la loro proprietà caratteristica 

 si ottiene con una semplice generalizzazione della proprietà caratteristica di queste ul- 

 time funzioni. Per le funzioni a numeri derivati limitati si ha infatti, come proprietà 

 caratteristica, la seguente : preso un numero positivo <s , ad arbitrio, è sempre possibile 

 determinarne un altro fi, tale che si abbia \2\f{Pi) — /(«»)! I •< , per qualsiasi sistema 

 di un numero finito qualunque di intervalli (a», /Si), distinti o no, appartenenti all'inter- 

 vallo (a , b) su cui si considera la f(x) , e di lunghezza totale minore di fi. Per le fun- 

 zioni assolutamente continue si ha invece: preso un numero positivo «j, ad arbitrio, è 

 sempre possibile determinarne un altro fi, tale che si abbia |Z {/'(/};) — /'(<*<) ) | < a . per 

 qualsiasi sistema di un numero finito qualunque di intervalli (ai , p t ) , sema parti co- 

 muni, appartenenti all'intervallo (a , b) su cui si considera la f(x) , e di lunghezza to- 

 tale minore di fi. 



(*) Esempì di tali funzioni furono dati da H. Hahn, B. Levi, ecc. 



