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sempre crescente (decrescente) a destra di ogni punto di tale insieme che 

 non sia primo estremo di un intervallo contiguo, la somma f{x)-\-g>(x) 

 ha il numero derivato destro superiore sempre uguale a quello della f(x) , 

 pur non differendo da questa funzione soltanto per una costante. Se dunque 

 si vuole che il nostro problema ammetta una soluzione unica, si è costretti 

 ad enunciarlo nel seguente modo: 



Determinare, a meno di una costante, una funzione continua, noto 

 che sia un suo numero derivato ('), sotto la condizione che nessuno dei 

 due insiemi di "putiti E +a> , E_o> in cui tale numero derivato assume i va- 

 lori -{- oc e — oo . rispettivamente, contenga un insieme perfetto. 



In una Nota, pubblicata in questi Rendiconti ed avente il medesimo 

 titolo della presente ( 2 ), esposi un metodo di dimostrazione della formula (1), 

 per le funzioni assolutamente continue, del tutto diverso da quelli che al- 

 l'uopo già erano stati proposti, metodo che mi sembra ponga bene in luce 

 la ragione della validità della formula stessa. In questa Nota, e in altre 

 due che la seguiranno fra breve, mi propongo di mostrare, valendomi sem- 

 plicemente della formula detta, che il procedimento di integrazione alla 

 Denjoy permette di risolvere in modo completo il problema sopra enun- 

 ciato, e che il problema stesso ammette sempre una sola soluzione. Forse 

 ciò si può anche ottenere con un accurato esame dei risultati stabiliti nel 

 poderoso studio del Denjoy sulla derivazione e il suo calcolo inverso ( 3 ), la 

 cui lettura peraltro, data la lunghezza del lavoro, riesce alquanto laboriosa. 

 Ad ogni modo non è privo di interesse, pure nel caso dei numeri derivati 

 sempre riniti, l'avere una dimostrazione diretta della possibilità di ottenere 

 la primitiva col procedimento del Denjoy. 



Risulterà poi, da quanto verrò esponendo, che il calcolo della primi- 

 tiva può eseguirsi anche se, in un insieme di punti di misura nulla, non è 

 effettivamente conosciuto il valore del numero derivato considerato, e ne 

 seguirà la proposizione : 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè una funzione continua sia 

 determinata, a meno di una costante, da un suo numero derivato, è che: 

 1°) questo numero derivato sia conosciuto quasi dappertutto; 

 2°) nessuno dei due insiemi di punti, in cui esso assume i valori 

 di -j- oo , — oo . contenga un insieme perfetto. 



( 1 ) Di lato e rango fìssi. 



( 2 ) Voi. XXV, 1916, 1° seni., pp. 163-170. 



( 3 J II lavoro è diviso in tre parti: « Mémoire sur les nombres dérivés des fonctions 

 continues» (Journal de Matbématiques pures et appliquées, 1915, pp. 161-248); «Mé- 

 moire sur les fonctions dérivées soinmable " (Bulletiu de la Suciété Mathématique de 

 France. 1915, pp. 1 61-24S t ; «Mémoire sur la totalisation des nombres dérivés uon som- 

 mables » (Annales scientifiques de l'Ecole norrn. supérieure, 1916, pp. 127-222; 1917, 

 pp. 181-2:JS). 



