In questo enunciato, alla seconda condizione si può sostituire l'altra, 

 apparentemente più restrittiva, che cioè non contenga un insieme perfetto 

 l'insieme dei punti in cui il numero derivato è in modulo uguale a -j- oo . 



1. Dato un insieme perfetto P di punti di una retta, chiameremo por- 

 zione di tale insieme ogni insieme perfetto composto tutto di punti di P e 

 tale che, detti a e fi i suoi estremi, ad esso appartengano tutti i punti 

 di P compresi fra a e /?. 



Ciò premesso, sia f(x) una funzione finita e continua, data in tutti i 

 punti di un intervallo («,/>), e ri supponga, fino ad avviso in contrario, 

 che il suo numero derivato superiore destro A d (x) — che indicheremo sem- 

 plicemente con A(x) — sia sempre finito o tutt'al più uguale a — oo in 

 un insieme di punti E_ x che non contenga nessun insieme perfetto. 



la ogni insieme perfetto P di punti di {a.b), esiste sempre una 

 porzione sulla quale A(x) ammette un limite superiore finito. 



Indichiamo, infatti, con R:(a;) il limite superiore del rapporto incre- 

 mentato 



f(x + h) -f(x) 

 {4) h 



per tutti gli h soddisfacenti alla doppia disuguagliauza <^ h ■ < h — x. 

 Questa R(x) risulta definita per ogni x di (a,b), escluso l'estremo b, e, 

 per l'ipotesi fatta su A(x), ha sempre valore finito. Ed invero, essendo 

 -A(x)<^-\- ce , per ogni h positivo e minore di un S opportuno, dipendente 

 da x, il rapporto incrementale (2) è minore di A(x) -f- 1, se A(x) ]> — oo ; 

 e minore di zero, in caso contrario. Per tutti gli h tali che S < h <. b — x , 

 la (2), tenuto fisso x, è funzione continua di h ed ammette un massimo 

 finito M(x). È dunque R(»< A(x) -f- M(a;) + 1 , se A(x)> — cc; e 

 B,(x) — M(x)\, in caso contrario. 



La R(x) è, inoltre, semicontinua inferiormente in ogni punto di (a,b), 

 secondo estremo escluso. Infatti, considerato un x qualunque di (a.b), di- 

 stinto da b , e preso ad arbitrio un s > , abbiamo, per almeno un va- 

 lore h t , tale che < h < b — x , f(x -f- h ) — f(x ) > h [il(x 9 ) — «Q. 



J x. . A - f{x-\-h ) — f(x) , . , , 



La funzione di x , : , essendo continua, si può deter- 



minare su e ^> in modo che si abbia, per tutti gli x di (a, b) soddisfa- 

 centi alla \x — 5c | <- e , f(x-\-h 9 ) — f(x)^>h [R(x ) — e]. 



Per gli x indicati è allora R(.c) >■ R(x ) — f, ciò che prova la semi- 

 continuità inferiore della R(x). 



Siccome è sempre A(x) ^ R(x) , basterà dimostrare per la R(x) la 

 proprietà affermata per la A(x). 



Supponiamo dunque che tale proprietà non valga per la R(£c) e cioè 

 che, presi comunqne un numero N ed una porzione di P. esista sempre in 



