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Condizione necessaria e sufficiente affinchè una superficie di Sp^ 

 [ove q è la dimensione dello S(2/* — 1) osculatore generico ad essa"] 

 abùia nulla la curvatura media per deformazioni di specie 2/.i , è che il 

 gruppo delle tangenti quasi -asintoti che in un suo punto generico sia apo- 

 lare al gruppo delle tangenti isotrope ivi (contato fi volte). 



Per fi = 1 si hanno le proprietà delle superficie d'area minima. 



5. Ad ima classe di superficie ancora più somigliante a quelle d'area 

 minima si arriva cercando il significato dell'annullarsi identico del cova- 

 riante 



[ù»*(Lj[j. , L?)] 2 



(quadrato dell' Hessiano della forma simbolica L S p e di Lf). Riferita la su- 

 perficie alle linee isotrope, si ricava, nel campo reale, 



L21J.— 1.1 = L 2 [j._2,2 = • • • = L ll 2jj._ 1 - 



(indicando così l'annullarsi dei determinanti d'ordine massimo estratti dalle 

 matrici precedenti); si annullano in conseguenza tutte le spinte a tn (L t p , Lf*), 

 in particolare, per k—fi, l'invariante prima considerato. 



Il significato delle ultime equazioni è il seguente: 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè per una superficie sia 

 identicamente [&j ì (L 2 l.. , Lf)] 2 = 0, è che il doppio sistema di linee isotrope 

 sia caratterizzato dalle seguenti proprietà: gli S h (1 <. h < 2,u — 1) oscu- 

 latori alle curve di un sistema in 2fi — h -\- 1 punti successivi di una 

 curva dell'altro sistema stanno in uno 8(2p — 1) osculatore alla superfìcie. 



Se poi l'ambiente è un S p+1 (q ha il significato di prima) l'equazione 

 delle quasi-asintotiche si riduce a 



(4) (du/dvfP = — Lo.a^/Lj^o ; 



e poiché la (3) nell'ipotesi attuale dà 



((%) ) 



sarà 



L 2 u,e Lo )2 (/. <d 



e perciò la (4) ammette due radici reali di segno opposto. 



Le superficie reali di S p +i per le quali è co* (L f{ * , Lf) = posseg 

 gono un doppio sistema reale di quasi-asintotiche ortogonali. 



