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Ancora più suggestiva è l'espressione del 2° membro per mezzo delle 

 spinte; indicando con K t , K 2 , ... dei coefficienti numerici che è inutile 

 trascrivere, esso vale 



Kj H<»^-< [V (L tf , , L tv ) Lp-*1 + KjH* a»V 8 [«< (L 2(JL , L 2H .)L^~ 8 ] + ■ ■ • 

 + He- 1 [»»!*-■ (L v , L v ) Lf] + Hf* co 2 !* (L v . L v ) ; 



si ha un invariante assoluto (che per { a = 1 si riduce alla curvatura gaus- 

 siana) dividendo questo per H 2 ."-. 



4. La relazione (2) porta spontaneamente a definire come curvatura 

 media per le deformazioni di specie v -f- 1 la radice quadrata di 



[^■(^..Lr ,)]' 



Riteniamo v -j- 1 = 2,».t e studiamo le superficie a curvatura media, per 

 deformazioni di specie 2/i, nulla. Riferita la superficie alle sue linee iso- 

 trope, per l'annullarsi di |>' 2 : A (L 2[A , Lf. a )]* , essendo Lf."- = 2V- F. u - x^- , 

 deve aversi L 2 (t)/A = 0; quindi, nel campo reale, 1^ = 0, cioè 



(3) _2!ll»ì_ , > ==0 



ove i punti indicauo termini lineari nelle derivate d'ordiue <2,u. Viceversa, 

 se vale la (3) è nullo l'invariante scritto. Dall'interpretazione geometrica 

 della (3) segue: 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè la curvatura media per 

 deformazioni di specie di una superficie reale sia nulla è che le curve 

 isotrope di essa formino un doppio sistema a carattere involutorio dotalo 

 della seguente proprietà: gli osculatori alle curve di un sistema in 

 fi -j- 1 punti successivi di una curoa dell'altro sistema stanno in uno 

 S(2/u, — 1) osculatore alla superficie. 



E poiché da = segue per derivazione L^+^+j, = , si ha pure : 

 Se per una superficie è nulla la curvatura media per deforma- 

 zioni di specie 2\i , sono nulle tutte le curvature medie per deformazioni 

 superiori di specie 2(jt*-j-A). 



In particolare: le superficie d'area minima hanno nulle tutte le cur- 

 vature medie (cioè per deformazioni di specie pari qualsiasi). 



Se q è la dimensione dello S(2,u — 1) osculatore generico alla super- 

 ficie considerata e questa giace in S p+1 , alla condizione precedente si può 

 dare aspetto reale considerando le curve quasi-asintotiche della superficie 

 per le quali lo S t[1 osculatore in un punto sta nello S(2/x — 1) osculatore 

 ivi alla superficie. Esse sono definite da L 2iA = (che, data la dimensione- 

 ambiente, e un'equazione effettiva di grado 2(i); quindi 



