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distanza dell'estremo (distinto da 0) dallo S(v) osculatore alla superficie 

 in è dato [tino ai termini d'ordine 2(r-|-l)] da 



v+l 



[(r+l)!]° 

 ove 



Poiché ./^, non dipende che dalla tangente alla curva in (e non 

 dai successivi elementi di essa), ha senso la ricerca del valor medio di 



^+i/°' 2l, ' +1) i" ^al variare della tangente ^ / . 



Detto un angolo che individua la posizione della tangente nel fascio 

 si trova 



1 2n'X ' L^'J 2*" +I> [(v -f- 1)!]» H^ 1 

 essendo 



H = EG — F* . 



Questa relazione fornisce il significato geometrico dell' invariante scritto 

 a 2° membro. 



Nello spazio ordinario (per v = l) si trova elio detto invariante (per 

 movimenti) diminuito del quadrato della curvatura media dà, a meno di 

 un fattore, la curvatura di Gauss. 



Ora per deformazioni ed ambienti qualsiansi, sempre si ha: 



La differenza dei due invarianti (per deformazioni di specie »■ — | — 1 > 



è invariante per deformazioni di specie v. 



3. La dimostrazione di questo teorema presenta alcune differenze nei 

 due casi v -f- 1 pari e v -j- 1 dispari [a causa dell' invariante simbolico 

 o) N+1 (L^+i , L? +1 )]; presenterò quella per il caso v -f- 1 = 2jti, in vista della 

 applicazione che segue. 



Si ha (scrivendo per brevità x x , r J\ come variabili nelle forme e rife- 



(') Le notazioni sono quelle delle Note precedenti; solo qui, ]>er comodità, si è 



scritta la forma L v +i nelle variabili , *y invece clie in dui , du a . 



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