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ogni superfìcie od ipersuperfìcie si caratterizza nel gruppo proiettivo con 

 due o tre forme differenziali del primo ordine (una o due quadratiche ed 

 una cubica); date le quali, si ottiene la superfìcie od ipersuperfìcie, inte- 

 grando un sistema di equazioni ai differenziali totali, a cui soddisfano le 

 coordinate omogenee di un punto della ipersuperfìcie. I coefficienti di tali 

 equazioni differenziali lineari sono completamente determinati dai coefficienti 

 di tali forme differenziali. Nelle mie Meni. cit. si studia come generalmente 

 si possa togliere l' indeterminazione dovuta al fattore arbitrario, per cui si 

 possono moltiplicare le coordinate omogenee di punto; ma per lo studio 

 degli invarianti di una superfìcie nel gruppo affine, tale indeterminazione si 

 deve naturalmente togliere in altro modo. Poiché in tale studio sono ele- 

 mento essenziale le toordinate non omogenee, noi potremo ricorrere a coor- 

 dinate omogenee, una delle quali sia uguale ad 1. Due ipersuperfìcie sa- 

 ranno affini soltanto quando coincideranno le corrispondenti equazioni diffe- 

 renziali. 



Così, p. es., per una superficie riferita alle assintotiche, le forme 

 (1) 2/Sydudv (2) 2 py (pdu* + ydv 3 ) 



sono invarianti per deformazioni proiettive, e costituiscono quello che io 

 perciò chiamo l'elemento lineare proiettivo, invariante in particolare per col- 

 lineazioni: esse, uguagliate a zero, definiscono le assintotiche e le linee di 

 Darboux-Segre. Le equazioni differenziali corrispondenti sono: 



^ò^X ~bX . ~t)% 1)*X ~ò£ . ~bX 



ove «,f dipendono dalla terza forma (quadratica), che qui non è necessario 

 ricordare, e soddisfano, per le condizioni di integrabilità, alla a' v = s' u , 

 cosicché 



(4) dxp = 2(adu-\-sdv) 



è un differenziale esatto. Esso non è però intrinseco, perchè cambia di si- 

 gnificato quando si cambiano i parametri delle assintotiche, cioè quando si 

 muti u in una funzione U della u, e v in una funzione V della v; è fa- 

 cile invece verificare, e noi controlleremo, che 



(5) dg> = 2(adu-\-edv) — 2d\ogpy 



(pure essendo ancora esatto) ha significato intrinseco. 



Dunque nella geometria, rispetto al gruppo affine, alla terza forma si 

 può sostituire la forma lineare (5), che è un differenziale esattol Due su- 

 perficie saranno affini soltanto quando abbiano uguale elemento lineare 

 proiettivo, e abbiano uguale forma dtp. Cerchiamo il significato geome- 

 trico della <p . 



