Se E tlv} -f- 2F du do -f- G^y 2 è l'elemento lineare di Gauss, ed r j 



' » ' 



ne sono i simboli di Christoffel, è 



(1) ^ (2).' y (1) ' (2)' 

 Le equazioni di Gauss-Codazzi si possono scrivere nella forma 



3 log D' {/EG — F* 7) lo g D' fEG — F 2 D' 2 



7»m 3» EG — F 2 



ove K è la curvatura totale e 2D' è la seconda forma di Gauss. 



Detti e p 2 i raggi di curvatura ordinaria (o geodetica) delle assin- 

 totiche, si ha 



1 EG — F 2 



ce, (EG) 3 ' 2 



donde : 



(EG — F 2 ) 2 1 • u t 



(EG) 3 EG 



e quindi: 



D'(EG — F 2 ) 



5 lì 



d<p = d log ^ EG)3 {Q l QtY = d log [ J/— K seu 6 <o e2 )*] (») 



ove w è l'angolo delle due assintotiebe. Questo valore di dg> è scritto così 

 in forma tale, che è facilissimo esplicitarlo in coordinate curvilinee qual- 

 siasi', cosicché il nostro studio vale senz'altro, qualunque sia il sistema 

 di linee coordinato. 



Affinchè poi il gruppo affine, che trasforma l'una nell'altra le due su- 

 perfìcie, conservi i volumi, sarà ancora necessario e sufficiente che D' abbia 

 ugual valore in punti omologhi delle due superfìcie: ossia, in forma intrin- 

 D' 



seca, che — sia uguale in tali punti omologhi. Si noti che 

 PY 



D' D' t/EG-F 2 ,—— 



— -, — • 1=~ 3 — Qi Qz = X — K Qi Qì sen 3 », 



PY f/EG — F* |/EG ; 



(*) Ne segue che il rapporto E dei valori di y — K (qi p 8 ) a sen 8 co in due punti di 

 una superficie si conserva per trasformazioni affini; e che tutti gli invarianti per affinità 

 si riducono all'elemento lineare proiettivo, e a questo rapporto R. 



