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di un'equazione irriducibile in [1], ritiene che per la validità del metodo 

 di Kronecker non basta che f(x) sia priva di radici multiple, come suppone 

 il Kronecker, ma bisogna ammettere addirittura che essa sia irriducibile 

 in [lj. Le obbiezioni che solleva il dott. Mazzoni non hanno però alcun 

 fondamento, perchè proveremo che la condizione di irriducibilità di f{x) 

 in [1] è superflua, come l'altra che f(x) sia priva di radici multiple, va- 

 lendo in ogni caso il metodo di Kronecker senza alcuna modificazione. 



Supponiamo infatti che una funzione f{x) intera a coefficienti razio- 

 nali sia decomponibile nel prodotto di / fattori irriducibili in e sia 



f{x) = f,{x,p ì ).f ì {x^ ì ).. ftix,^). 



Se al posto di x si sostituisce 2 -J- e poi si cambia /?, con le ra- 

 dici coniugate /? 2 , ••• 1 fin dell'equazione a coefficienti razionali irriducibile 

 in [1], alla quale soddisfa fii , si ha il seguente quadro: 



1 f(* + m = A(* + ifii ,/?,)■ AG» + *A , Pi) - M* + . Pi) 



(1) ) f(* + W = A(* + *h > P») ■ A(* + Vi - Pt) - A(* + *A , P*) 



\f V+ tf») = À(* + Un , Pn) ■ M* + Xpn , P«) - A(# + ■ /»") ■ 



Posto 



(2) F { (* , A) = A(* + Aft - Pi) ■ A(* + • • ft) »■ Afe + *P* . 



(/ = 1,2,. ..,/), 



sarà F(£ , X) una funzione razionale intera di 2 e A in [1], e noi ora dimo- 

 striamo che il massimo comun divisore delle due funzioni 



(3) A* + . FiM) 



è il fattore fi{s -f- A/9, , /?J di /'(s-f-A^j). Poiché, come si vede dal qua- 

 dro (1), le due funzioni (3) hanno il fattore fi{s -\- , § x ) in comune, 

 basta provare che i due quozienti 



A(* + */Wi) ; A(* + Vnfr) 



sono primi fra loro. E infatti essi si scindono in fattori lineari in 2 e X, 

 aventi per il primo quoziente la forma 



È -j- XPi — a , 



e per il secondo la forma 



s-\-ipr-<*' (r=M), 



essendo a ed a' radici di f(x) = ; e, poiché fi r è diverso da /?, , nessuno 

 dei fattori lineari del primo quoziente può essere identico a qualcuno dei 

 fattori lineari del secondo. 



