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f[3A M 8 + 2B M + C] dx . . H 



essendo <p — e ed u un integrale particolare della [2], 



ed i coefficienti <Z>, <f> 2 dati dalle formolo 



[a] ^ 1 = A^ , Ò> 8 = [3Aw + B] <p . 



Facendo particolari ipotesi sopra questi coefficienti della [1], si otten- 

 gono altrettanti casi d'integrabilità per quadrature dell'equazione Abe- 

 liana [2]. Il sig. V. Z. Elliot, che più di tutti ha esaminato la presente 

 questione sotto tale punto di vista, non sembra abbia raggiunto risultati 

 pratici se non quando si orienta verso l'equazione di Jacobi. Perciò cre- 

 diamo utile proseguire la ricerca con lo stesso metodo della Nota prece- 

 dente in cui considerammo il caso <!>/= 0. Esaminiamo ora due altri casi, 

 cioè: 



(I) 4>, = <I> , 0> 2 = — <P; 



essendo in ambedue <I> funzione arbitraria. 



2. Nella ipotesi (I) l'equazione [1] corrispondente ha per integrale 

 generale 



[4] + log[0 — 1]= — jtfd/H-H, 



essendo H costante arbitraria. 



Ora, per la medesima ipotesi (I), viene ad introdursi nelle [a] il le- 

 game seguente: 



[£] -Ò.U 4- B = — A<p 



j [3A M a + 2Bu + C] rfx 



con tp = e' 



Dalla quale si vede che le quattro quantità A , B , C , u non possono 

 rimanere tutte indipendenti, ma una qualunque di esse dovrà essere espressa 

 in funzione delle rimanenti. A tale scopo poniamo 



[y] K = 3Am 4- B ed rj = 3 A* 2 -f 2 B u + C . 



Dalla [/?] allora avremo facilmente la relazione 



K_' A_' 



K A 



e, ricavando C, troviamo 



[6] C = _ M(K + B)-^ + |-' 



