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Matematica. — Sulla ricerca delle funzioni primitive. 

 Nota II ( x ) di Leonida Tonelli, presentata dal Socio S. Pincherle. 



2. Indicheremo con [a x , bf) , (a 8 , b t ) , ... , (a„ , b n ) , .... gli intervalli 

 contigui all'insieme perfetto P (*). ordinati (per es.) in modo che le loro 

 lunghezze non vadano mai crescendo; indicheremo poi con b' n un qualsiasi 

 puuto di (a„,b„), distinto da a„. 



In ogni insieme perfetto P, di (a , b) esiste almeno una porzione, sui 

 cui intervalli contigui il rapporto 



(1) f(b' n )-f(a n ) 



b' n —a„ 



ammette un limite superiore finito. 



Supponiamo che, presi comunque un numero N ed una porzione di P, 

 esistano sempre un intervallo contiguo (a n , b n ) a tale porzione, e, in esso, 

 un punto b' n in modo da avere f(b' n ) — f{a n ) (b' n — a„). 



Sia n x il più piccolo valore di n che soddisfa la disuguaglianza ora 

 scritta per N = 2; sia poi b { ^ il massimo valore dei b' n soddisfacenti alla 

 stessa disuguaglianza, per N = 2 e n = n x . Indichiamo con S x il massimo 

 intervallo, contenuto in (a , b) , di lunghezza non superiore a b^ — a^, 

 avente per centro a„ x e sul quale è sempre f{b ( ^) — f(x)^b { *\ — x, e 

 con P! la porzione di P, di massima lunghezza, contenuta in . Sosti- 

 tuiamo P, a P e, facendo N = 4 , determiniamo in modo analogo la por- 

 zione P 2 di Pi su cui è sempre — f(x) ^ 2 (b™ — x) . E così pro- 

 seguiamo indefinitamente. Ciascuno degli insiemi perfetti P ,.P, , P» , ... ri- 

 sulta contenuto in tutti quelli che lo precedono; esiste perciò almeno un 

 punto p comune a tutti i P„ . Per essere / (b ( n ] ) — ) — 2r(^ — a„ r ) , 

 l'indice n r tende all'infinito per r — > oo , e si ha b™ — a„ — > e 

 bV—p-+0. Essendo poi f(b^)-f(p)^r{b^-p), si ha A(p)-= + oo , 

 contro l'ipotesi che sia sempre A{x) <C + 00 • 



3. In ogni insieme perfetto P, di (a,b), esiste almeno una porzione 

 Pj tale che la serie 2'\f(b„) — f(a„)\, limitata ai soli intervalli con- 

 tigui ad essa, risulti assolutamente convergente. 



Scegliamo in P una porzione sulla quale A(x) ammetta un limite su- 

 periore finito (n. 1), che diremo L/; su questa porzione scegliamone un'altra, 



(') Continuazione della Nota I (questi Rend., voi. XXIX, 1° sem., pp. 44-48). 

 (') Gli estremi a n e b„ sono dunque entrambi punti P, al quale insieme non ap- 

 partiene nessun altro punto di (a n , h n ). 



