Pj , sui cui intervalli contigui il rapporto (1) ammetta un limite superiore 

 finito (n. 2), che diremo L". Dimostriamo che la sene 2'\f(b n ) — /"(#«){» 

 limitata ai soli intervalli contigui a P, , è assolutamente convergente. 

 Detto L un numero maggiore di L' e di L", formiamo la funzione F(a;)== 

 =^ f(x) — hx e indichiamone con A{x) il numero derivato superiore destro. 

 È sempre A = A — L e quindi, su tutto F x , A <[ 0. Inoltre, è sempre, 

 sugli intervalli contigui a P, 



F(b ' n ) - F( a „) f(b' n ) - f(a n ) 



h' — 77 JLi <. U , 



n (X n O n - & n 



(2) F(^)-F(a„)<0. 



La serie 2'\F(b H ) — F(a n )\, limitata agli intervalli contigui a P,, è 

 dunque o convergente o divergente, e in questo secondo caso = — co. Sup- 

 poniamola divergente, se è possibile. Detta Sì la massima oscillazione della 

 F(a;) sull'insieme P, . scegliamo un intero positivo m in modo che la somma 

 delle differenze F(b n ) — F(a n ), relative ai primi m intervalli contigui a P, 

 (l'ordine in cui si considerano questi intervalli è quello stesso in cui essi 

 figurano nella successione di tutti gli intervalli contigui a P), risulti minore 

 di — Sì. Questi primi m intervalli, disposti nell'ordine in cui si presentano 

 su (a , b) , siano (a a) , b U) ) , , b w ) , ... , (a (m) , b lm) ) . Abbiamo 



mi \ 



y F(è (r) ) — F(V r) ) < — Sì. 



Affermiamo che è F(b ir) ) > F(a (r+1> ). Essendo b (r) un punto di P, , 

 è A (b ir) ) <C , onde, per ogni h positivo, sufficientemente piccolo, F(b ir) ) j> 

 ]> F(b lr) -f- h). Indichiamo con <? (r) il massimo valore di b lr) -J- h che non 

 supera <a (r ~ t ~ 1) , soddisfa alla disuguaglianza scritta e corrisponde a un punto 

 di Pi. Se fosse c ir) <[a (r ~ , " 1) , c lr) non potrebbe coincidere col primo estremo 

 di un intervallo contiguo a P, , perchè, per la (2), esso non sarebbe il mas- 

 simo dei valori indicati ; e non potrebbe neppure essere un altro punto 

 di Pi perchè, avendosi A(c ir) ) <^0 , esso non darebbe ancora il massimo dei 

 valori detti. È dunque c ir) = a Cr+l) , da cui F(b lr) ) > F(a Cr+lì ). Da ciò si trae 



m 



F(b< m) ) — F(a U) ) = £ { F(£ (r) ) — F(a fr ') ( -f- 

 i 



m— 1 m 



+ >_ j FCawO - F(b r ) | < 7 j P(i«) - P(a<») |< - Sì , 

 i i 



il che contraddice al fatto che Sì è la massima oscillazione della F sull'in- 

 sieme P! . La serie 2'\ F(b n ) — F{a n ) j , estesa agli intervalli contigui a P, , 

 è dunque convergente e convergente assolutamente, e tale è necessariamente 

 anche 2' j f(b n ) - f(a n ) \ = 2' j P(* w ) - F(« n ) \-\-L2' (b n — a n ). 



