— 108 — 



4. Sulla porzione Pi , considerata al numero precedente, A(x) è in- 

 tegrabile nel senso del Lebesgue e vale l'uguaglianza 



(3) f(f») - f(pm) = A{x) dx + 2' j f(b n ) - f(a n ) | , 



dove la serie è estesa soltanto agli intervalli contigui a Pi , e p loì e p il) 

 indicano il primo e il secondo estremo di Pj . 

 Siccome è 



L(p»>— /,<•>) = L f dx + L2'(b n -a n ), 



basterà dimostrare che, su P, , è integrabile A(x) e che la formula (3) 

 vale per la F(jc). 



Rammentiamo che è, in ogni punto di P, , A <C e che vale, sugli 

 intervalli contigui a P, , la (2). 



Preso un * ^> ad arbitrio, indichiamo con e r (r = 1 , 2 , ...) l'insieme 

 dei punti di P, in cui è — re <- A < — (r — 1) e , e con m (e r ) la sua mi- 

 sura. Scelto poi un intero positivo N, sufficientemente grande perchè la 

 somma dei primi N termini della serie 2' — somma che indicheremo 

 con 2" — risulti minore della serie stessa aumentata di * , indichiamo 

 con e l'insieme somma di tutti gli e r di indice r > N e dell'insieme dei 

 punti di Pi in cui è A = — <». Rinchiudiamo i punti di e r (r=0 ,l , 

 2 , ... , N) in un sistema numerabile J r di intervalli, senza parti comuni, 

 di (jo (0) , in modo che ogni punto dell'insieme sia interno all'inter- 

 vallo che lo contiene e che la misura complessiva m(J r ) di tutti gli in- 

 tervalli di J r soddisfi alla doppia disuguaglianza 



(4) 0^m(Jr)-m(er)<4- 3 - 



Attribuiamo ora ad ogni punto di (p (0) ,p U) ) un intervallo appartenente 

 a questo segmento e avente il primo estremo nel punto considerato, con la 

 seguente regola. A.1 primo estremo di un intervallo contiguo a Pi attribuiamo 

 lo stesso intervallo contiguo che lo contiene; ad un punto p di e r (r = , 

 1,2,... N), non di quelli già considerati, attribuiamo il massimo intervallo 

 appartenente a quello del sistema J r che contiene p e tale che in esso non 

 sia contenuta nessuna parte dei primi N intervalli contigui a P, , e che il 

 suo secondo estremo p appartenga all'insieme P, e soddisfi alla prima o 

 alla seconda delle due disuguaglianze 



(6) m=m ^_ (r _ ì)t , m=i ip>^_ Se , 



