— 109 — 



secondo che è r>0 oppure r = Gli intervalli così definiti hanno 

 tutti ambedue gli estremi su P, e con essi, partendo da p l0) , possiamo ri- 

 coprire (p (0) ,jo (1) ) con una catena di intervalli, in modo che ciascun inter- 

 vallo della catena abbia come primo estremo il secondo estremo del prece- 

 dente oppure il limite superiore dui secondi estremi dei precedenti (*). Se 

 (p,p') è un intervallo qualsiasi della catena, per la (2) e per le due di- 

 suguaglianze precedenti, abbiamo P(p') — F(p)<Q, e la serie 



estesa a tutti gli intervalli della catena, risulta assolutamente convergente 

 e avente per somma F(p (1) ) — F(p (0) ). Fra gli intervalli della catena figu- 

 rano poi sicuramente i primi N intervalli contigni a P, , così che fra i ter- 

 mini della serie S figurano tutti quelli di 2" \~F(b„) — Fftf*)}- 



Indichiamo con J' r l'insieme degli intervalli della catena che hanno 

 come primo estremo un punto di e r (r — , i , ... , N) non primo estremo 

 di un intervallo contiguo a P,, e con m(4' r ) la misura complessiva di tali 

 intervalli. I punti di e r non contenuti negli intervalli di J' r e che non 

 siano primi estremi di intervalli contigui a , sono contenuti negli inter- 

 valli dei sistemi J' r ' , con r' =j= r e quindi in quelli dei J r i corrispondenti. 



-•N = - 

 N s • N 1 



Per la (4), la misura del loro insieme è pertanto minore di ^ • N = 



ed è così m (J' r ) > m (e r ) — ~ , da cui si trae, per < r < - N , 



(r— 1)6 m(e r ) -f ^ (r — 1)« m{J' r ) , 



N N 



s Y (r — 1) m(e r ) + «* > — e Y (r — 1) m(J' r ) 

 i i" 



e, per la prima delle (5), 



_ £ y ( r _ i) m {e r ) + > 2 X { F(/) — FQ>) ( , 



dove la serie 2 X è estesa a tutti gli intervalli della catena che hanno per 

 primo estremo un punto di e r (r— 1 , 2 , ... N) e che non coincidono con 

 un intervallo contiguo a P,. Da questa disuguaglianza e da un'osservazione 

 fatta più sopra, scende 



(6) — £ J (r— 1) m(e r ) -f- 2" JF(è n ) - F(« n )( + .*>S = F(/ 1 >) — F(p<«) , 



(') Si rammenti che è A(pX — (r — l)f se r>0, e A(p) <i — Ne se r = 0. 

 (*) Cfr. H. Lebesgue, Lecons sur Vintégmtion et la recherche des fonctions primitives 

 (Paris, Gauthier-Villars, 1904, pag. 63). 



