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potremo dedurre gli sviluppi in serie che dànno la rappresentazione analitica- 

 di una falda della superficie f (xyz) = , nell'intorno di un punto che cor- 

 risponda a uq incrocio di due curve di diramazione. 



E giova qui dire che la singolarità delle superficie, che risponde al 

 tipo sopra caratterizzato, ha importanza per la teoria generale, poiché a, 

 questo tipo di incroci può ridursi ogni singolarità puntuale di una super- 

 ficie, mediante trasformazioni quadratiche dello spazio, come mostreremo in 

 un altro lavoro di prossima pubblicazione. 



2. Sia dunque P un punto d'incrocio di due curve di 'diramazione a e b 

 (o di due rami lineari) facenti parte della D (x y) = , e passanti per esso 

 con tangenti distinte; e siano x = 0, y o = 0, le sue coordinate. 



Mettendo in evidenza le parti reali e immaginarie delle due variabili 

 complesse x e y, poniamo 



X = Xi -f- i X t , y = y 1 +y ì , 



dove ora x ì , y, , x & , y z , sono variabili reali. 



Ogni punto di coordinate reali o complesse del piano (xy) verrà rappre- 

 sentato da un punto dello spazio a quattro dimensioni 2, i cui punti sono 

 definiti dalla quaterna di coordinate (x l x 2 y v y 2 ) ; e, in particolare, al punto P 

 risponderà in 2 il punto di coordinate x l =à x 2 — y x = y % = . 



Alla curva di diramazione D (xy) = 0, corrisponderà una superficie J , 

 la quale passerà per co:i due falde, J a e J b , corrispondenti rispetti va- 

 vamente alle due componenti a e b della curva D. 



Nello spazio 2 considereremo esclusivamente i punti soddisfacenti alla 

 disuguaglianza 



xl -f- x\ + yì -\-yl<h 2 , 



cioè i punti interni ad una ipersfera Sì di centro e di raggio h, nella 

 quale la superficie J si componga solamente delle ;due falde J a e 4 b , e 

 queste vi restino distinte ed abbiano come solo punto comune il punto 0. 



Sia ora H un punto generico di 2, interno all'ipersfera Sì: ad esso cor- 

 risponderanno, in virtù dell'equazione f(xyz) = Q, evalori di z : z x , s 2 j z 3 ... z n , 

 che saranno distinti fra loro. 



Facciamo descrivere ad H una linea chiusa r a che avvolga una volta 

 la superficie 4 a ' una tale linea si può ottenere prendendo un piano per H 

 che intersechi la J a in un punto Q, e prendendo in questo un cappio uscente 

 da H ed avvolgente il punto Q e questo solo. Accanto a questo cappio si 

 può considerare ogni altro da esso ottenuto per continuità, senza incontrare 

 nessun altro punto della 4 a o della J b . 



Quando H descrive in un senso determinato il cappio r a , ritornando 

 in sè stesso, gli n valori Zi , z* , z 3 . . . z„ si permuteranno secondo una certa 

 sostituzione che indichiamo con A. Similmente indichiamo con B la sosti- 



