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Dalla (1), mediante due successive derivazioni, si ottiene 



Per questa e per la (1) l'equazione caratteristica (I) può scriversi 



Zn ~ x | M* + +M* - i) + ig ~ [/»(* + i) - A(i - *)1 j = o . 



E questa soddisfatta per qualunque t , assumendo i coefficienti f n dello 

 sviluppo (1) in guisa da soddisfare alle seguenti relazioni: 



/n + ,(* + ì) + A +2 (^ - t) + V ^ [ A(* + - fn{* ~ *)] — , 



(i = 0, 1,2, 3, ....)• 



Sono queste equazioni lineari, alle sole differenze finite, che notoria- 

 mente determinano (*) le funzioni f n per n >. 2 quando sieno note /"„ e f x . 



3. Vediamo ora, in modo preciso, come si possono determinare le fun- 

 zioni f n mediante f e fi . Chiamo ip n e xp n la parte reale e il coefficiente 

 dell'unità immaginaria di /„, con che 



fn{*) =<Pn{X, V) + Ìtff n (a> , ìj) ■ 



Dovendo essere f„ reale per y = 0, si ha, riferendosi in particolare ai 

 punti della retta y = 1 , 



*n = !j / ? n(* + *) + AO» — *) | , v» = ^-|A( a; + -A»^— OJ; 



per cui le (2), riferite all'asse reale, cioè per z = %, divengono 

 (3) (pn +ì — g r^- Vn = . pei - ,y=l- 



Ora è 



tp n = i- f °° 3fc i og cth' - J (*, - *) dan , 



se si ammette che sia funzione dei punti della retta # = 1 . continua 



al finito e dotata di limite superiore finito anche al crescere indefinito del- 

 l'argomento (*). 



(') Cfr. ad es. Pascal, Lezioni di calcolo infinitesimale. Parte III: Calcolo delle 

 variazioni e delle differenze finite [Mauuali Hoepli (1918), 2* edizione, pag. 297]. 



( 2 ) Levi-Civita, Trasformazione di una relazione funzionale dovuta al Bini [questi 

 Rendiconti, voi. XX (1911), pag. 293, formula (I) e pag. 381, ipotesi a)]. 



