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Per la precedente, la (3) può scriversi 



(4) 5P» + « = ^^X ^ log0th8 T^ 1— x ) dx ^ pery.— l. 



Noti i valori che <p n assume nei punti della retta y — 1, questa for- 

 mula fornisce i valori che nei punti della stessa retta assume la parte reale 

 della funzione /„+ 2 . Con ciò e per il fatto che f n + 2 dev'essere reale per 

 y = , la funzione stessa risulta definita nei punti interni della striscia 

 — 1 <. y 1 mediante la formula seguente (*) : 



1 f 00 



(5) A+2^) = 2j <P 



dx 



-2 



Ch — *) 



4. Da quanto precede risulta che i coefficienti f n (s) dello sviluppo (1) 

 della funzione f(t ; z) risultano determinati per mezzo delle formule (4) 

 e (5) quando sieno assegnati i valori che <p e <p x assumono nei punti della 

 retta y = 1 ; precisamente le f„ con n pari dipendono in definitiva dai va- 

 lori di tp e le f n con n dispari dai valori di </>, . Converrà pertanto met- 

 tere in rilievo nello sviluppo (1) questa dipendenza separata, scrivendo 



oo fin oo fin+1 



L'assegnazione dei valori di g> e (pi nei punti della retta y — 1 di- 

 pende dalle circostanze iniziali del problema ondoso. Così ad esempio nel 

 caso delle onde di emersione (impulsi iniziali nulli) è (p = : in tali ipo- 

 tesi è facile il riconoscere essere nulle tutte le /„ con n pari, percui 

 nella (V) scompare la prima serie e rimane 



oo fìn+l 



< l "> «>'*^drwi M ' h 



nella quale i coefficienti f Sn+1 dipendono in definitiva dai valori della sola (p x 

 sopra y=l; com'è noto, questi valori definiscono la conformazione iniziale 

 del pelo libero. In una prossima Nota, trattando della forma delle onde di 

 emersione, verrà messa in evidenza la equiconvergenza della serie sotto con- 

 venienti condizioni. 



0) Palatini, Sulla influenza del fondo nella propagazione delle onde dovute a per- 

 turbaiioni locali [Rend. del Circ. mat. di Palermo, voi. XXXIX (1915), pag. 373, for- 

 mula (12)]. 



