— 134 — 



Matematica. — A propos de la notion de parallélisme dans 

 une oarièté queleonque. Nota di J. Pérès, presentata dal Socio 

 T. Levi-Oivita. 



1. Etant donaée une variété à n dimensions V„, dont l'élément linéaire 

 est 2 b ik dxi dx h , on connait les propriétés d'invariance de la forme 



J = 2(ij , kl) dxi èxj dx k óx t , 



où interviennent les symboles à qaatre indices de Rienaann. M. r Levi-Civita 

 obtient, dans soa Méraoire Nozione di parallelismo in una varietà qua- 

 lunque ecc., une définition de J qui en uiet en évidence, sans calculs, le 

 caractère invariant ( l ); il uiet en relief, dans la note critique qui termine 

 ce Mémoire, une difficulté d'interprétation du passage où Riemann ( 2 ) a lui 

 aussi en vue la caractérisation invariante de J. Je reviens ici sur l'inter- 

 prétation du passage de Riemann. 



2. Voici d'abord le fragment en question : « formetur expressio 



R == 8" 1 2 bik dxi dxn — 2 dò 2 b ih dxi óx h + d 2 2 bik óxì óxn 



determinatis variationibus secundi ordinis d 2 , dó , ó 2 ita, ut sit 



i ó' 2 b ilt dxi óx h — à 2 bik dxi à'xk — d 2 bik <$Xi à'x h — 

 ( 1 ) ! à" 2 b ih dxi dx k — 2 d 2 b ik dx% S'xk = 

 f ò' 2 b ih àXi óxh — 2 ó' 2 b ih àxi à'x H = , 



denotante d' variationem quamcumque. Quo pacto haec expressio invenie- 

 tur = J ». Puis « ex hac formatione hujus expressionis sponte patet, mu- 

 tatis variabilibus iadependentibus transmutari eam in expressionem a nova 

 forma ipsius 2 bik dxi dx k eadem lege dependentem » . 



3. La détermination des ditféreptielles secondes, à partir des équa- 

 tions (1), est immediate: on trouve les expressions memes qu'introduit, gràce 

 à la théorie du parallélisme, M. r Levi Civita. Mais si Fon adopte alors, pour 

 les différentielles troisièmes, les valeurs qui en résultent ( 3 ), on trouve ( 4 ), 

 non pas 



11 = J 



(!) Bend. Circ. Palermo, t. 42, 1917, pp. 196-198. Cfr. pour une interprétation gèo- 

 métrique de J et de la contrevariance des »&'), ma Note (Rend. Lincei, 15 juin 1919). 



( 2 ) Gommentatio mathematica ecc. (Ges. Werke, p. 380 et suiv.). 



( 3 ) Levi-Civita, loc. cit. (»), p. 196. 

 («) Id , ibid., p. 202. 



