corame l'annonce Riemann, mais 



R = 



c'est la difficulté annoucée. 



4. Nous vérifierons d'abord que le résultat de Riemann s'explique dans- 

 l'hypothèse, évidemmeot inadmissible du point de vue de la théorie du pa- 

 rallélisme, que les différentielles troisièmes sont indépendantes de l'ordre 

 des différentiations ( 1 ). 



I) est inutile de refaire le calcili, cai" eu posant 



R = R l -\- U 2 



et en groupant daus R 2 les termes qui contieunent des différentielles 

 troisièmes, on a 



R 2 = 2 2bik dxi (F dxu — 

 — 2 Sfa* dxi dó 2 x h . — 2 2 b ih dódxi óx^ -f- 2IA ifi d ì Sxi àa ì; 



d'où, puisque 



Sdxi — dÒXi , 

 R. 2 = 2 2b ih dxiióddxi — déóxj,) , 



c'est-à-dire ( 2 ) 



R 2 — 2 2 (ij , kl) dxj dxj dx<i dxu ; 

 d'où, puisque R est nul, 



Rj = — 2 2(ij , kl) dxi tìxj dxjf dxn . 



Si l'on remarque que les symboles (ij , kl) de Riemann diffèrent des 

 symboles correspondants de M. r Levi-Civita, précisément par le facteur — 2, 

 on voit que, en adoptant les notations de RiemanD, il vient 



R, — J. 



En faisant, sur les différentielles troisièmes, l'hypothèse indiquée au 

 début de ce paragraphe, on troupe évidemment 



R= R, = J 



cornine nous l'avions annoncé. 



5. Le calcili précédent rattache, très simplement, le résultat de Riemann 

 à celui de M r . Levi-Civita. La différence provient de valeurs différentes at- 

 tribuées aux différentielles troisièmes. 



Le calcul de Riemann est d'ailleurs légitime: ce n'est pas par un 

 hasard heureux que R, caleulé corame nous l'indiquions, se trouve étre un 



Q) Cette remarque est aussi faite par Weber (2 e édition des Oeuvres). Ni Biemann,. 

 ni Weber ne précisent d'ailleurs les valeurs à attribuer aux différentielles troisièmes. 

 ( 8 ) Levi-Civita, loc. cit., formules (33), (34), (34'). 



Rendiconti. 1920. Voi. XXIX, 1° Sem. 18 



