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invariant. Cela provient au fond de ce que l'hypothèse du n. 4 est invariante 

 par un changement de variable. 



Il est d'ailleurs aisé de préciser les valeurs à attribuer aux différen- 

 tielles troisièmes invariantes, conformément aux vues de Riemann ('). Nous 

 le verrons dans la suite, en employant d'abord un procede indirect, mais 

 qui m'a para bien marquer l'égale légitimité des deux points de vue. Gela 

 inet d'ailleurs en évidence l'originalité des vues de M. r Levi-Civita et l'avan- 

 tage de ses conceptions. 



6. Revenons d'abord sur la définition de R. Soient donnés, en un point 

 determinò P de la variété considérée, un certain nombre d'éléments linéaires 

 inflniment petits : dx correspondant aux accroissements des variables dx x ,dx t , 

 ... dx n (nous noramerons ces accroissements coordonnées de l'élément par rap- 

 port aux variables xì) ; dx ayaut pour coordonnées òx x , óx 2 , ... òx n ; etc 

 On pourra en déduire les symboles dS , ódS etc, si l'on a défini, en un point 

 quelconque M de la variété, les éléments linéaires qui seront considérés 

 comme congruents respectivement à dx ,óx , ... ; il est essentiel que cette 

 définition soit indépendante du système de référence (xi} choisi dans V n . 

 Ceci fait, étant donne' un invariant forme à l'aide des éléments dx , àx , ... 

 (par exemple 2 bikd%i òx*), on pourra le dirférentier et en déduire, par dif- 

 férentiation, de nouveaux invariants: c'est ainsi qu'est formé R. 



Pour détìnir, au point M, l'élément linéaire congruent à un élément 

 donné, on peut d'abord utiliser la translation de M. r Levi-Civita ( 2 ). Comme 

 une telle translation ne cbange ni les longueurs, ni les angles, il est bien 

 clair qu'en adoptant la définition correspondante des différentielles succes- 

 sives, il vient 



ó 2 1 bit dxi dxu = dò 2 hi* dxi àx k = , 



c'est-à-dire 



R^O. 



7. Mais on peut aussi procéder de la fafon suivante, et cela revient au 

 point de vue de Riemann. 



Admettons que les coordonnées du point P soient x l =x 2 =-~ = x n = 0, 

 et soient z/, , y t , ... y n les variables géodésiques d'origine P et correspon- 

 dantes à x x , x 2 , ... x„ ; on a 



(2) Xi = yi-kT\ X -\y->.v*---- ( 3 ). 



(') En abandonnant, naturellement, Tartifice bien inutile qu'est l'introduction des 

 équations (1). Eappelons la définition des différentielles invariantes: leurs valeurs doivant 

 étre déterminées à partir des coefficients de la forme 2bi\iXiix\ , et telles qu'après 

 cbangement de variables elles gardent mème expression à partir des nouveaux coefficientsi 



( 2 ) Il importe de fixer alors le chemin suivi de P à M. 



( 3 ) Les symboles de Christoffel sont calculés au point par rapport à la forme 

 2bi\dXid,x\. Pour la définition des variables géodésiques, cf. Eiemann, loc. cit., p. 261. 



