L'élément linéaire dx admet au point P, par rapport aux variables y*, les 

 coordonnées 



dt/i = dxi . 



Nous déflnirons l'élément congruent au point M comme ayant, par rapport 

 aux variables les mémes coordonnées; on aura, en distinguant ces coor- 

 données per l'indice M, 



{dyi)u = dyi = dx% 



et, en revenaat aux variables Xi , les coordonnées de l'élément congruent 

 seront 



oyii òi/h 



La détìnition précédente de vecteurs congruents en P et en M est bien 

 indépendante du choix des variables. Le calcili direct est aisé, mais c'est 

 immédiat si l'on interprète les yi comme coordonnées cartésiennes d'une va- 

 riété euclidienne que l'on peut déduire de V„ de la facon suivante (*) : 

 laissant fixe P et son voisinage du premier ordre, on applique les géodé- 

 siques issues de P sur leurs tangentes en P, avec conservation des arcs. 

 Dans ces conditions les deux éléments congruents dx et (dx) M auront pour 

 images deux éléments égaux et parallèles de l'espace euclidien. 



La définition précédente de la coDgruence entraine immédiatement, en P, 



(3) 



l dóxi — ^ - Xl dx\ óx r , 



\ d' ddxi = y ^— — dxk 3x r è'x s , etc. 



/— ~òiih ìy r ìy» 



valeurs évidemment invariantes et indépendantes de l'ordre des dift'érentia- 

 tions. On en déduira donc le résultat de Riemann 



R = J. 



8. Ajoutons ici une remarque. Étant donné au point P un vecteur 

 contrevariant , £ <s) , ... £ (n) , les ìésultats du n.° 7 permettent de lui faire 

 correspondre (par congruence) un vecteur contrevariant (£ a> ) M , ••• d'ori- 

 gine M; on a les formili es 



(4) (^) N = 2 h ^^. 



( x ) Les dérivées partielles étant calculées au point M. 



( 2 ) Severi, Eend. Circ. mat. Palermo, t. 42, p. 253. 



( 3 ) Les seconds membres sont faciles à esprimer à Faide des symboles de Christoffel. 

 Les différentielles ainsi dófìnies sont liées assez simplement à celles de M. r Levi-Civita. 

 On vérifiera par exemple que la différentielle <FddXi, donnée par la formule (3), est la 

 moyenne arithmétique des trois différentielles <fddxi, dMxi, Wdxi de M. r Levi-Civita. 



