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Les propriétés de l'opération qui fait passer de £ c0 à (£ li) ) M soat a coup 

 sur moins simples que celles de la translation de Levi-Civita: les lougueurs 

 et les angles de vecteurs concourants ne sont pas conservés. Mais, au voisi- 

 nage du point P, les deux opérations coin",ident: si en effet les coordonnées 

 de M sont dx x , ... dx n , les relations (4) et (2) donnent immédiatement, 

 pour les variations correspondantes des £ (0 , les valeurs 



Ce sont les formules de M. r Levi-Civita. 



9. Si nous n'avions pas eu en vue de préciser la déiinition de R, nous 

 pouvions parvenir plus vite aux formules (3). Il suffit de prendre les valeurs 

 des différentielles invariantes à definir, nulles pour un système de variables 

 géodésiques d'origine P. Elles seront alors nulles pour tout autre système yx 

 de variables géodésiques ('); ce qui conduit immédiatement aux formules (3) 

 pour leurs valeurs en coor.données quelconques. 11 me semble que c'est la 

 facon la plus simple d'obtenir les valeurs des différentielles invariantes dàx , 

 dont on sait I'importance. 



Matematica. — Sur un théorème de Liapounoff. Nota di 

 A. Hosenblatt, presentata dal Socio T. Levi-Civita. 



1. Envisageons un corps K limite par une surface S qui possedè, en 

 chaque point, une normale déterminée. dont les cosinus directeurs sout des 

 fonctions continues du point Envisageons l'intégrale 



étendue à tous les couples de points , y , s ; %' , y' , s' du corps K , r étant 

 la distance des deux points. D'après Liapounoff ( 2 ), parmi tous les corps K 

 de méme volume V la sfère possède le maximum absolu de l'intégrale (1). 

 Il n'y a pas d'ailleurs d'autre maximum relatif. 



Liapounoff se sert, pour parvenir à ce résultat, des méthodes de la théorie 

 du potentiel newtouien en envisageant une certaine conche électrique sul- 

 le surface S du corps. Il suppose établi le théorème, d'après lequel, parmi 

 tous les corps de méme volume V, c'est la sfère dont la surface possède la 

 plus petite aire. On sait que ce théorème n'a été démontré que rócemment 



d^ = — 



% 



dxx 



(1) 



( ! ) Parceque la relation entre deux systèrnes de variables géodésiques d'origine P' 

 est à coeflìcients constants. 



( a ) Cfr. Poincaré, Figures d'équilibre d'une masse fluide. Paris, 1902. 



