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d'une manière satisf'aisante au point de vue de la rigueur et dans des sup- 

 positions assez générales ( , ). 



Nous avons démontré le théorème de Liapounoff concernant le maximum 

 absolu de la sfere pour des corps tout à fait généraux, sans faire appel à 

 des considérations étrangères au théorème et sans introduire des grandeurs 

 étrangères au théorème, comme l'aire de la surface du corps. 



2. Nous envisageons dans l'espace R 3 un ensemble borné E mesurable 

 au sens de M. Lebesgue. A cet ensemble correspond, dans l'espace à six 

 dimensions x , y , z : x , y , z un ensemble mesurable E**, dans lequel la 



fonction - est sommable. On peut dérinir le potentiel newtonien de l'en- 



semble E comme l'intégrale (1) étendue à E**; et son énergie potentielle, 

 comme le négatif de cette intégrale. 



Pormons une suite de divisions Di , D s , . . . de l'espace R 3 en cubes 



E' , K* , . . . de cotés — , -~ , . . . . Envisageons les sommes 



m(e'i) étant la mesure de points de E coutenus dans le i me cube de la k me 

 subdivision D ft ; rfj est la distance des milieux du i me et du j me cube et 

 la somrnation est étendue à tous les couples de valeurs i ,j tels que i=^=j. 



Rernplacons les ensembles de points de E contenus dans les cubes K* 

 par des parallélopipèdes Kf concentriques aux cubes K^' , de méme base et 

 parallèle à celle de Kf et de volume égal à m(e'-). Les sommes 



rfj désignant maintenant la distance de deux points variables P et Q des 

 parallélopipèdes , , tendent vers la méme limite que les sommes (2), 

 et cette limite est égale à la valeur J de l'intégrale (1). 



D'après un théorème connu de M. Fubini ( 2 ), l'intégrale (1) est égale 

 à l'intégrale 



r 



(2) 



R — e 



(') L. Tonelli, Sulla proprietà di minimo della sfera. Rendiconti del Circolo Ma 

 tematico di Palermo, tomo XXXIX, 1915. 



( 2 J Sugli integrali multipli. Rendiconti della R. Accademia dei Lincei. 1907. 



