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est étendue aux deux ensembles linéaires de points E* et E*' situés sur 

 les deux droites g(x,y) et g'(x' , y') et appartenant à l'ensemble E; x , y 

 et x , y soct les coordonnées des points où les droites z , g' percent le pian 

 x,y. Les ensembles E* , E*' sont mesurables, à un ensemble e e de points 

 x , y de mesure nulle près. R est un rectangle suffìsamment grand et r la 

 distance de deux points des droites g et »' . 



Appellons K le corps symmétrique par rapport au pian des x , y que 

 Fon obtient en remplacant, sur cliaque droite, $ à un ensemble de mesure 

 nulle près, l'ensemble E* par un segment de longueur égale à m(E*) et 

 de milieu situé sur le pian x , y . 



On peut alors établir le 



Théorème I: Le potentiel J du corps K n'est pas plus petit que 

 le potentiel J de E . Il n'est égal au potentiel J que dans le cas, où l'en- 

 semble E*, situé sur la droite g, est déjà un segment S de milieu situé 

 dans le pian x,y, à un ensemble linéaire de mesure nulle près, et à 

 l'exception d'un ensemble de droites g qui donnent sur le pian x ,y un 

 ensemble de mesure nulle. Cela veut dire que l'on peut ajouter à E* un 

 ensemble E * de mesure nulle et soustraire de E* un autre ensemble de 

 mesure nulle, Eó* . Sur un ensemble de droites de mesure nulle, E* peut ou 

 bien ne pas étre mesurable ou, en étant mesurable, ne pas ètre un segment S 

 de centro situé sur le pian x , y , à un ensemble linéaire de mesure nulle 

 près. Dans tous les autres cas on a Xinèqalitè 



(6) J>J. 



3. Introduisons maintenant les délinitions suivantes : 

 sfere S à un ensemble de mesure nulle près est un ensemble E des 

 points d'une sfere à laquelle on a ajouté un ensemble E de points de me- 

 sure nulle et de laquelle on a soustrait un autre ensemble Eó de points de 

 mesure nulle; 



corps plein parfaitement symmétrique à un ensemble de mesure nulle 

 près est un ensemble E borné qui possède les propriétés suivantes : Si l'on 

 envisage un pian n arbitraire de l'espace, il existe un pian (unique) de 

 symmétrie du corps n' parallele à n. Ce pian tv' possède par rapport au 

 corps les propriétés du pian x , y par rapport à l'ensemble E du n. 2. Ap- 

 pellons un tei corps un corps parfait. 



Le théorème I peut alors s'énoncer ainsi : 



Théorème V : Étant donné un corps K qui n'est pas un corps par- 

 fait à un ensemble de mesure nulle près, il existe un autre corps K dont 

 le potentiel J est plus grand que celui du corps K . 

 On démontre ensuite sans difficulté le 



Théorème II: Tout corps parfait à un ensemble de mesure nulle 

 près est une certaine sfère à un ensemble de mesure nulle près. 



