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Bien plus de difficultés présente la démonstration du 



Théorème TU: Le potentiel d'une sfère S de volume V ri est pas 

 plus petit que le potentiel de tout ensemble E borné et mesurable de me- 

 sure m(E) = V. 



D'après ce qui a été dit au n. 2, il suffit de démontrer le théorème III 

 pour tous les corps K composés d'un nombre tini de polyèdres, que Fon 

 peut supposer ètre des eubes. On symmétrise, pour parvenir à ce but, le 

 corps K alternativement par rapport à deux plans passant par un axe l cou- 

 tenant un angle a incommensnrable avec tv. On obtient un corps de revolu- 

 tion R de mème volume que le corps K, mais d'un potentiel plus grand. 

 En symmétrisant ensuite ce corps par rapport à un second axe V perpen- 

 diculaire à l'axe l et rencontrant cet axe (Tonelli, loc. cit. ), on obtient 

 une suite Ri , R 2 , ... de corps de revolution qui converge vers une sfère S 

 déterminée. Cette sfère possède un potentiel au moins égal à celni de tout 

 ensemble E. 



Des théorèmes V , II , III résulte le théorème de Liapounoff: 



Théorème IV: La sfere S à mesure nulle près de volume V possède 

 un potentiel plus grand que celai de tout autre ensemble E de mesure 

 w(E) = V et borné. 



Les considórations, qui conduisent à ce but, peuvent étre employées 

 pour établir un théorème analogue conceruaut les corps non homogènes, 

 c'est à dire des ensembles E de densitè q{F) fonction du point P de l'en- 

 semble. 



Matematica. — Nuovo metodo di sommatone delie serie che 

 ammette l'algoritmo delle sene assolutamente convergenti. Nota 

 di Gustavo Sannia, presentata dal Socio Enrico D'Ovidio. 



1. In una Memoria ( 1 ), sintetizzata in una Nota di questi Rendiconti ( 2 ), 

 trasformai iì metodo esponenziale nel metodo dì Borei generalizzato (o Bg) 

 col duplice scopo, che credei raggiunto, di accrescerne la poteuza e di far sì 

 che alle serie sommabili fossero applicabili incondizionatamente quelle ope- 

 razioni aritmetiche che erauo applicabili solo ad una classe particolarissima 

 di serie: le assolutamente sommabili del Borei. Ma in una recente Nota ( 3 ) 

 ho riconosciuto che in realtà il secondo scopo avevo raggiunto solo in parte, 

 nel senso che anche col nuovo metodo Bg l'applicabilità dell'ordinaria re- 



(!) Rend. del Gire. mat. di Palermo, t. XLII, 1917, pag; 303. 



( 2 ) Voi. XXVI, serie 5 a , 1° serri., fase. 11, pag. 603. La indicherò in seguito con N.. 



( 3 ) In corso di pubblicazione nei Rend. del Gire. mat. di Palermo. 



